Какие элементы двух треугольников нужно сравнить, чтобы применить первый признак равенства?

Две стороны и любой угол

В треугольниках ABC и DEF AB = DE, AC = DF. Какое равенство углов нужно добавить, чтобы применить первый признак?

Подойдёт любое из них

Какие утверждения верны?

Теорема — утверждение, которое доказывается рассуждениями

Равенство вертикальных углов — теорема

Первый признак равенства треугольников доказывают наложением

Проверка на одном аккуратном чертеже — это доказательство

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O — середине каждого из них. Какие треугольники равны по первому признаку?

Таких треугольников нет

Первый признак равенства треугольников

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Треугольник

Коротко о главном

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Коротко: «по двум сторонам и углу между ними».

AB = A_1B_1,\ AC = A_1C_1,\ \angle A = \angle A_1 \ \Rightarrow\ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1

Подробное объяснение

Представьте циркуль: две ножки и шарнир между ними. Если развести ножки на определённый угол, расстояние между их концами станет вполне определённым — другим оно быть не может. Так и с треугольником: две стороны и угол между ними задают его целиком.

Теорема и доказательство

В геометрии утверждение, справедливость которого устанавливают рассуждениями, называют теоремой, а сами рассуждения — доказательством. Вы уже встречали теорему: вертикальные углы равны. Мы не измеряли углы на одном рисунке, а рассуждали так, чтобы вывод был верен для любых пересекающихся прямых.

Первый признак равенства треугольников

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Два треугольника ABC и A1B1C1. Стороны AB и A1B1 отмечены одной чёрточкой, стороны AC и A1C1 — двумя, углы A и A1 — двойной дугой. Значит, треугольники равны. — Две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого — треугольники равны.

Почему это так. Пусть $$AB = A_1B_1$$ , $$AC = A_1C_1$$ и $\angle A = \angle A_1$ .

Углы A и $$A_1$$ равны, поэтому треугольник ABC можно наложить на $$A_1B_1C_1$$ так, чтобы вершина A попала в $$A_1$$ , а стороны AB и AC легли на лучи $$A_1B_1$$ и $$A_1C_1$$ .
Так как $$AB = A_1B_1$$ , точка B попадёт точно в $$B_1$$ . Так как $$AC = A_1C_1$$ , точка C попадёт в $$C_1$$ .
Концы стороны BC совпали с концами $$B_1C_1$$ , значит, совпали и сами отрезки. Треугольники совместились полностью — они равны.

Слово признак означает: по нему можно сделать вывод о равенстве, не накладывая фигуры. Достаточно сравнить три элемента.

Главное условие — угол между сторонами

Угол должен быть образован именно этими двумя сторонами. Для сторон AB и AC это угол A, для сторон BA и BC — угол B. Если известны две стороны и угол не между ними, признак не работает: такие треугольники могут оказаться разными.

Что даёт равенство треугольников

После того как равенство доказано, из него получают новые факты: равны и остальные элементы. Против соответственно равных углов лежат равные стороны, против равных сторон — равные углы. Так находят неизвестные отрезки и углы.

Как решать задачи

Выделите на чертеже два треугольника, в которые входят нужные отрезки или углы.
Выпишите три пары равных элементов и обоснуйте каждую: «по условию», «общая сторона», «вертикальные углы», «O — середина».
Проверьте, что угол лежит между выбранными сторонами.
Сделайте вывод: «треугольники равны по первому признаку». Запишите вершины в порядке соответствия.
Выпишите нужные равные элементы: равные стороны лежат против равных углов.

Разобранные примеры

База

Общая сторона

Условие

Луч AD делит угол BAC пополам, $$AB = AC = 9$$ см, $$BD = 4$$ см. Найдите DC.

Дано

$\angle BAD = \angle CAD$
$$AB = AC$$
$$BD = 4$$ см

Найти

$$DC$$

Решение

В треугольниках ABD и ACD: $$AB = AC$$ по условию, AD — общая сторона, $\angle BAD = \angle CAD$ .
Угол BAD лежит между сторонами AB и AD, угол CAD — между AC и AD.
По первому признаку $\triangle ABD = \triangle ACD$ , поэтому $$DC = BD = 4$$ см.

Ответ: 4 см

Средний

Вертикальные углы

Условие

Отрезки PR и QS пересекаются в точке O, причём $$PO = OR$$ , $$QO = OS$$ . Угол OPQ равен $55^\circ$ . Найдите угол ORS.

Дано

$$PO = OR$$
$$QO = OS$$
$\angle OPQ = 55^\circ$

Найти

$\angle ORS$

Решение

В треугольниках POQ и ROS: $$PO = RO$$ , $$QO = SO$$ по условию.
$\angle POQ = \angle ROS$ как вертикальные; каждый лежит между нужными сторонами.
По первому признаку $\triangle POQ = \triangle ROS$ (P с R, O с O, Q с S).
Угол OPQ лежит против стороны OQ, угол ORS — против равной ей стороны OS. Значит, $\angle ORS = \angle OPQ = 55^\circ$ .

Ответ: 55°

Сложный

Доказательство равенства отрезков

Условие

На сторонах угла с вершиной M отложены равные отрезки MA и MB, а на продолжениях этих сторон за вершину M — равные отрезки MC и MD (C за точкой M на прямой MA, D — на прямой MB). Докажите, что $$AD = BC$$ .

Решение

Дано: $$MA = MB$$ , $$MC = MD$$ ; C лежит на продолжении луча MA, D — на продолжении луча MB. Доказать: $$AD = BC$$ .

Рассмотрим треугольники AMD и BMC.
$$MA = MB$$ и $$MD = MC$$ по условию.
Угол AMD образован лучом MA и лучом MD, продолжающим луч MB; угол BMC — лучом MB и лучом MC, продолжающим MA. Это вертикальные углы, значит, $\angle AMD = \angle BMC$ .
По первому признаку $\triangle AMD = \triangle BMC$ , поэтому $$AD = BC$$ .

Ответ: AD = BC — доказано

Типичные ошибки

Берут угол, который не лежит между сторонами

Почему неверно

Если $$AB = A_1B_1$$ , $$BC = B_1C_1$$ и $\angle A = \angle A_1$ , то угол A не лежит между AB и BC. По таким данным можно построить два разных треугольника, первый признак неприменим.

Как правильно

Для сторон AB и BC нужен угол B — их общая вершина. Угол признака всегда при общей вершине двух выбранных сторон.

Не обосновывают пары равных элементов

Почему неверно

Пишут « $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку» без объяснения, почему равны стороны и углы. Без обоснований это не доказательство.

Как правильно

У каждого равенства — причина: «по условию», «общая сторона», «вертикальные углы», «O — середина отрезка».

Путают соответствующие вершины

Почему неверно

Доказав $\triangle ABC = \triangle CDA$ , пишут $$AB = DA$$ , а это стороны, которые не совмещаются.

Как правильно

Записывайте вершины в порядке соответствия (A с C, B с D, C с A) и по нему выписывайте равные стороны: $$AB = CD$$ , $$BC = DA$$ . Проверка: равные стороны лежат против равных углов.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В треугольниках ABC и DEF $$AB = DE = 5$$ см, $$AC = DF = 7$$ см, $\angle A = \angle D = 40^\circ$ , $$BC = 6$$ см. Найдите EF.

Подсказка

Проверьте, лежит ли равный угол между равными сторонами.

Решение

Дано

$$AB = DE$$
$$AC = DF$$
$\angle A = \angle D$
$$BC = 6$$ см

Найти

$$EF$$

Угол A лежит между сторонами AB и AC, угол D — между DE и DF.
По первому признаку $\triangle ABC = \triangle DEF$ (A с D, B с E, C с F).
Значит, $$EF = BC = 6$$ см.

Ответ

EF = 6 см

База Задача 2

Отрезки MN и KP пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. $$MK = 4$$ см. Найдите NP.

Подсказка

Рассмотрите треугольники MOK и NOP, вспомните про вертикальные углы.

Решение

Дано

$$MO = ON$$
$$KO = OP$$
$$MK = 4$$ см

Найти

$$NP$$

$$MO = NO$$ и $$KO = PO$$ , так как O — середина отрезков.
$\angle MOK = \angle NOP$ как вертикальные.
По первому признаку $\triangle MOK = \triangle NOP$ , поэтому $$NP = MK = 4$$ см.

Ответ

NP = 4 см

Средний Задача 3

В треугольниках ABC и $$A_1B_1C_1$$ $$AB = A_1B_1$$ , $$BC = B_1C_1$$ , $\angle B = \angle B_1$ . Известно, что $\angle A = 35^\circ$ , $\angle C = 65^\circ$ . Найдите углы $$A_1$$ и $$C_1$$ .

Подсказка

Какой угол лежит между сторонами AB и BC?

Решение

Дано

$$AB = A_1B_1$$
$$BC = B_1C_1$$
$\angle B = \angle B_1$
$\angle A = 35^\circ$
$\angle C = 65^\circ$

Найти

$\angle A_1$
$\angle C_1$

Угол B лежит между сторонами BA и BC, угол $$B_1$$ — между $$B_1A_1$$ и $$B_1C_1$$ .
По первому признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .
В равных треугольниках соответственные углы равны: $\angle A_1 = 35^\circ$ , $\angle C_1 = 65^\circ$ .

Ответ

∠A₁ = 35°, ∠C₁ = 65°

Средний Задача 4

На одной стороне угла O отмечены точки A и B, на другой — точки C и D так, что $$OA = OC$$ и $$OB = OD$$ . Докажите, что $$AD = CB$$ .

Подсказка

Найдите два треугольника, сторонами которых являются AD и CB, с общим углом O.

Решение

Дано: A и B на одной стороне угла O, C и D — на другой, $$OA = OC$$ , $$OB = OD$$ . Доказать: $$AD = CB$$ .

Рассмотрим треугольники AOD и COB.
$$OA = OC$$ и $$OD = OB$$ по условию.
$\angle AOD$ и $\angle COB$ — это один и тот же угол O.
По первому признаку $\triangle AOD = \triangle COB$ , поэтому $$AD = CB$$ — эти стороны лежат против равных углов при вершине O.

Ответ

Утверждение доказано — AD = CB

Сложный Задача 5

В треугольниках ABC и KLM $$AB = KL = 8$$ см, $$BC = LM = 6$$ см, $\angle A = \angle K = 40^\circ$ . Обязательно ли эти треугольники равны?

Подсказка

Лежит ли угол A между сторонами AB и BC? Попробуйте построить треугольник по этим данным.

Решение

Угол A лежит между сторонами AB и AC, а не между AB и BC. Первый признак здесь применить нельзя.
Построим $\angle A = 40^\circ$ и отложим на одной стороне $$AB = 8$$ см. Точку C ищем на другой стороне угла на расстоянии 6 см от B: проведём окружность с центром B радиусом 6 см.
Эта окружность пересекает вторую сторону угла в двух точках $$C$$ и $$C'$$ . Треугольники ABC и $$ABC'$$ оба подходят под условие, но $AC \ne AC'$ — наложением их не совместить.
Значит, треугольники ABC и KLM могут оказаться разными.

Ответ

Нет, не обязательно — данный угол не лежит между данными сторонами

Сложный Задача 6

Треугольники ABC и $$A_1B_1C_1$$ равны. На сторонах BC и $$B_1C_1$$ отмечены точки D и $$D_1$$ так, что $$BD = B_1D_1$$ . Докажите, что $$AD = A_1D_1$$ .

Подсказка

Рассмотрите треугольники ABD и $$A_1B_1D_1$$ .

Решение

Дано: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ , D на BC, $$D_1$$ на $$B_1C_1$$ , $$BD = B_1D_1$$ . Доказать: $$AD = A_1D_1$$ .

Из равенства треугольников: $$AB = A_1B_1$$ и $\angle B = \angle B_1$ .
В треугольниках ABD и $$A_1B_1D_1$$ : $$AB = A_1B_1$$ , $$BD = B_1D_1$$ , а угол B лежит между сторонами BA и BD (луч BD совпадает с лучом BC), угол $$B_1$$ — между $$B_1A_1$$ и $$B_1D_1$$ .
По первому признаку $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ , значит, $$AD = A_1D_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано — AD = A₁D₁

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите две линейки или два карандаша и скрепите концы, как ножницы. Разведите их на какой-то угол — расстояние между свободными концами станет определённым. Повторите с тем же углом — получится такой же треугольник. Значит, две стороны и угол между ними задают треугольник полностью. Вопросы для проверки понимания: 1) Какой угол нужен для первого признака, если равны стороны KL и KM? 2) Почему нельзя пользоваться углом, который не лежит между сторонами? 3) Что можно сказать об остальных сторонах и углах, когда равенство треугольников доказано? На что обратить внимание. Ребёнок должен обосновывать каждую из трёх пар равенств и записывать вершины треугольников в порядке соответствия.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 15	94, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104