Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 168

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = AC$$ ; $$K$$ , $$L$$ , $$M$$ — середины сторон $$AB$$ , $$AC$$ , $$BC$$ . Доказать: $\triangle KLM$ равнобедренный.

$BK = \dfrac{AB}{2}$ , $CL = \dfrac{AC}{2}$ , и так как $$AB = AC$$ , то $$BK = CL$$ .
$$BM = CM$$ , потому что $$M$$ — середина $$BC$$ .
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle B = \angle C$ , то есть $\angle KBM = \angle LCM$ .
В треугольниках $$KBM$$ и $$LCM$$ : $$BK = CL$$ , $$BM = CM$$ , $\angle KBM = \angle LCM$ . По первому признаку $\triangle KBM = \triangle LCM$ , откуда $$MK = ML$$ .
У треугольника $$KLM$$ две стороны равны, $$MK = ML$$ , значит, он равнобедренный (с основанием $$KL$$ ).

Ответ

Утверждение доказано, MK = ML, треугольник с вершинами в серединах сторон равнобедренный

Почему так

Углы при основании равны, а половинки равных боковых сторон и основания равны, поэтому треугольники KBM и LCM равны по первому признаку.

Подробнее — в теме «Равнобедренный треугольник и его свойства».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).