Какой треугольник называют равносторонним?

У которого все стороны равны

У которого две стороны равны

У которого есть прямой угол

У которого все углы разные

В каком случае медиана треугольника обязательно является его биссектрисой и высотой?

Если она проведена к основанию равнобедренного треугольника

Если она проведена к боковой стороне равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник и его свойства

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны: это боковые стороны, третья — основание. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают.

AB = AC \;\Rightarrow\; \angle B = \angle C

Подробное объяснение

Посмотрите на двускатную крышу дома или на вешалку-плечики: две одинаковые наклонные стороны сходятся в верхней точке. Такую фигуру можно сложить пополам по вертикали — половинки совпадут. Это и есть равнобедренный треугольник, а его «линия сгиба» хранит главные свойства.

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны — боковые, третья сторона — основание. Углы, прилежащие к основанию, называют углами при основании, а угол против основания — углом при вершине.

Треугольник, у которого равны все три стороны, называется равносторонним. Он тоже равнобедренный, причём любую его сторону можно считать основанием.

Равнобедренный треугольник ABC с равными боковыми сторонами AB и AC. Углы B и C при основании отмечены как равные. Отрезок AD делит угол A пополам, делит основание пополам и перпендикулярен ему. — В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса к основанию — также медиана и высота.

Теорема 1. Углы при основании равны

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$BC$$ , то есть $$AB = AC$$ . Проведём биссектрису $$AD$$ . Треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ равны по первому признаку: $$AB = AC$$ , сторона $$AD$$ общая, $\angle BAD = \angle CAD$ . В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому $\angle B = \angle C$ .

Отсюда сразу следует: в равностороннем треугольнике все углы равны (каждую пару сторон можно взять боковыми).

Теорема 2. Биссектриса к основанию — медиана и высота

Из того же равенства треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$ получаем ещё две вещи:

$$BD = DC$$ — значит, $$D$$ — середина основания и $$AD$$ — медиана;
$\angle ADB = \angle ADC$ , а эти углы смежные. Равные смежные углы прямые, значит, $AD \perp BC$ и $$AD$$ — высота.

Итак, биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, — один и тот же отрезок. Поэтому верно и так:

Высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Это свойство работает только для отрезков, проведённых к основанию. Медиана к боковой стороне обычно не совпадает ни с биссектрисой, ни с высотой.

Как решать задачи

Найдите, какие стороны равны, и назовите основание — это сторона между равными углами.
Отметьте на чертеже: штрихи на боковых сторонах, равные дуги на углах при основании.
Если проведён один из трёх отрезков к основанию, сразу выпишите два других свойства: « $$AD$$ — медиана, поэтому она же биссектриса и высота».
В задачах на периметр обозначьте неизвестную сторону буквой и составьте уравнение, помня, что боковых сторон две.
Для доказательств ищите равные треугольники: равные углы при основании часто дают недостающий угол для первого признака.

Разобранные примеры

База

Стороны по периметру

Условие

Периметр равнобедренного треугольника 26 см, основание 6 см. Найдите боковую сторону.

Дано

$$P = 26$$ см
основание 6 см

Найти

боковую сторону $$b$$

Решение

Боковых сторон две, и они равны: $$2b + 6 = 26$$ , $$2b = 20$$ , $$b = 10$$ см.

Ответ: 10 см

Средний

Высота к основанию

Условие

В равнобедренном треугольнике $$MNK$$ с основанием $$MK = 12$$ см проведена высота $$NH$$ , $\angle MNK = 70^\circ$ . Найдите $$MH$$ и угол $$MNH$$ .

Дано

$$MN = NK$$
$$MK = 12$$ см
$NH \perp MK$
$\angle MNK = 70^\circ$

Найти

$$MH$$
$\angle MNH$

Решение

Высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Как медиана: $$MH = 12 : 2 = 6$$ см. Как биссектриса: $\angle MNH = 70^\circ : 2 = 35^\circ$ .

Ответ: MH = 6 см, ∠MNH = 35°

Сложный

Равные отрезки от вершины

Условие

На боковых сторонах $$AB$$ и $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ (основание $$BC$$ ) отмечены точки $$P$$ и $$Q$$ так, что $$BP = CQ$$ . Докажите, что $$CP = BQ$$ .

Решение

Дано: $$AB = AC$$ , $$BP = CQ$$ . Доказать: $$CP = BQ$$ .

Рассмотрим треугольники $$PBC$$ и $$QCB$$ . Сторона $$BC$$ общая, $$BP = CQ$$ по условию, $\angle PBC = \angle QCB$ как углы при основании равнобедренного треугольника. Треугольники равны по первому признаку, поэтому $$CP = BQ$$ .

Ответ: Утверждение доказано, CP = BQ

Типичные ошибки

Считают равными углы при вершине и при основании

Почему неверно

Равны только два угла при основании. Угол при вершине может быть любым — острым, прямым или тупым.

Как правильно

Сначала найдите основание — сторону, которая не обязана равняться другим. Равны углы, прилежащие именно к ней. Если $$AB = BC$$ , основание — $$AC$$ , и равны углы $$A$$ и $$C$$ , а не $$A$$ и $$B$$ .

Применяют свойство «медиана = высота» к боковой стороне

Почему неверно

Биссектриса, медиана и высота совпадают только для отрезков, проведённых к основанию. Медиана к боковой стороне в общем случае не перпендикулярна ей.

Как правильно

Перед тем как написать «значит, она и высота», проверьте: проведён ли отрезок из вершины против основания к самому основанию.

Ссылаются на свойство, не назвав основание

Почему неверно

Фраза «треугольник равнобедренный, значит, углы равны» не говорит, какие углы. Отсюда путаница в доказательствах.

Как правильно

Пишите полностью: « $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $$AC$$ , поэтому $\angle A = \angle C$ ».

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7 см, основание — 5 см. Найдите периметр треугольника.

Подсказка

Боковых сторон две, и они равны.

Решение

$$P = 7 + 7 + 5 = 19$$ см.

Ответ

19 см

База Задача 2

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ угол $$A$$ равен $52^\circ$ . Найдите угол $$C$$ .

Подсказка

Какие углы равнобедренного треугольника равны?

Решение

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle C = \angle A = 52^\circ$ .

Ответ

∠C = 52°

Средний Задача 3

Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см, боковая сторона на 5 см длиннее основания. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Обозначьте основание через $$x$$ .

Решение

Пусть основание равно $$x$$ см, тогда каждая боковая сторона $$x + 5$$ см. $$x + 2(x + 5) = 34$$ , $$3x + 10 = 34$$ , $$x = 8$$ . Основание 8 см, боковые стороны по 13 см. Проверка — $$8 + 13 + 13 = 34$$ .

Ответ

8 см, 13 см и 13 см

Средний Задача 4

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$BC$$ угол, смежный с углом $$B$$ , равен $118^\circ$ . Найдите углы $$B$$ и $$C$$ .

Подсказка

Сумма смежных углов равна $180^\circ$ .

Решение

$\angle B = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$ как смежный угол. Углы при основании равны, поэтому $\angle C = \angle B = 62^\circ$ .

Ответ

∠B = ∠C = 62°

Сложный Задача 5

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена медиана $$BD$$ , на ней отмечена точка $$K$$ . Докажите, что $$AK = CK$$ .

Подсказка

Медиана к основанию является ещё и биссектрисой.

Решение

Медиана $$BD$$ , проведённая к основанию, является биссектрисой, поэтому $\angle ABK = \angle CBK$ . В треугольниках $$ABK$$ и $$CBK$$ стороны $$AB = CB$$ , $$BK$$ — общая, углы между ними равны. Треугольники равны по первому признаку, значит, $$AK = CK$$ .

Ответ

Утверждение доказано — AK = CK

Сложный Задача 6

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ на продолжении основания за точку $$A$$ отмечена точка $$M$$ , а за точку $$C$$ — точка $$N$$ , причём $$AM = CN$$ . Докажите, что $$BM = BN$$ .

Подсказка

Сравните углы $$BAM$$ и $$BCN$$ — они смежные с углами при основании.

Решение

Углы $$BAC$$ и $$BCA$$ равны как углы при основании. Углы $$BAM$$ и $$BCN$$ смежные с ними, поэтому тоже равны. В треугольниках $$BAM$$ и $$BCN$$ стороны $$BA = BC$$ , $$AM = CN$$ и углы между ними равны, значит, треугольники равны по первому признаку и $$BM = BN$$ .

Ответ

Утверждение доказано — BM = BN

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Сложите лист бумаги пополам и вырежьте по сгибу треугольник с вершиной на сгибе — получится равнобедренный треугольник. Разверните: половинки совпадают, значит, углы при основании равны. Линия сгиба делит угол при вершине пополам (биссектриса), попадает в середину основания (медиана) и образует с ним прямой угол (проверьте углом листа) — это высота.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие углы равны в равнобедренном треугольнике? 2) Что можно сказать о высоте, проведённой к основанию? 3) Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?

На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно находить основание по условию (« $$AB = BC$$ » — основание $$AC$$ ) и в доказательствах ссылаться на теорему полностью, а не «по свойству».

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 18	109, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120, 121, 122, 123, 124, 125