Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 169

Задача 1

Условие (кратко)

На сторонах AC, AB, BC равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE, CF (как на рисунке). Точки D, E, F соединены. Докажите, что △DEF равносторонний.

Решение

Дано: $$AB = BC = CA$$ ; $D \in AC$ , $E \in AB$ , $F \in BC$ ; $$AD = BE = CF$$ . Доказать: $$DE = EF = FD$$ .

Все углы равностороннего треугольника равны: он равнобедренный с основанием $$BC$$ , поэтому $\angle B = \angle C$ , и с основанием $$AB$$ , поэтому $\angle A = \angle B$ .
Оставшиеся части сторон равны как разности равных отрезков: $$AE = AB - BE$$ , $$BF = BC - CF$$ , $$CD = CA - AD$$ , значит, $$AE = BF = CD$$ .
Сравним треугольники $$ADE$$ , $$BEF$$ и $$CFD$$ : $$AD = BE = CF$$ , $$AE = BF = CD$$ , а углы между этими сторонами — $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ — равны.
По первому признаку $\triangle ADE = \triangle BEF = \triangle CFD$ , поэтому $$DE = EF = FD$$ , и треугольник $$DEF$$ равносторонний.

Ответ

Утверждение доказано, DE = EF = FD

Почему так

Три угловых треугольника равны по первому признаку (две стороны и равный угол между ними — угол равностороннего треугольника), значит, равны и их третьи стороны DE, EF, FD.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).