Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 170

Задача 1

Условие (кратко)

Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BD отмечены точки K и K₁ так, что AK = BK₁. Докажите, что OK = OK₁.

Решение

Дано: $$AO = OB$$ , $$CO = OD$$ ; $K \in AC$ , $K_1 \in BD$ , $$AK = BK_1$$ . Доказать: $$OK = OK_1$$ .

В треугольниках $$AOC$$ и $$BOD$$ : $$AO = BO$$ , $$CO = DO$$ , $\angle AOC = \angle BOD$ как вертикальные. По первому признаку $\triangle AOC = \triangle BOD$ , откуда $\angle OAC = \angle OBD$ .
Точки $$K$$ и $$K_1$$ лежат на сторонах $$AC$$ и $$BD$$ , поэтому $\angle OAK = \angle OAC$ , $\angle OBK_1 = \angle OBD$ , и $\angle OAK = \angle OBK_1$ .
В треугольниках $$AOK$$ и $$BOK_1$$ : $$AO = BO$$ , $$AK = BK_1$$ , $\angle OAK = \angle OBK_1$ . По первому признаку $\triangle AOK = \triangle BOK_1$ , значит, $$OK = OK_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано, OK = OK₁

Почему так

Сначала равны треугольники AOC и BOD (вертикальные углы), это даёт равные углы при A и B, затем по первому признаку равны AOK и BOK₁.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BD отмечены точки K и K₁ так, что AK = BK₁. Докажите, что точка O лежит на прямой KK₁.

Решение

Дано: $$AO = OB$$ , $$CO = OD$$ ; $K \in AC$ , $K_1 \in BD$ , $$AK = BK_1$$ . Доказать: $$O$$ лежит на прямой $$KK_1$$ .

Если $$K$$ совпадает с $$A$$ , то $$K_1$$ совпадает с $$B$$ , и $$O$$ лежит на прямой $$AB$$ . Дальше считаем $K \ne A$ .
Из пункта а) $\triangle AOK = \triangle BOK_1$ , поэтому $\angle AOK = \angle BOK_1$ .
Точки $$C$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ (отрезок $$CD$$ пересекает её в точке $$O$$ ). Точка $$K$$ лежит в той же полуплоскости, что и $$C$$ , а $$K_1$$ — в той же, что и $$D$$ . Значит, $$K$$ и $$K_1$$ — по разные стороны от прямой $$AB$$ .
Углы $$AOK$$ и $$KOB$$ смежные: $\angle AOK + \angle KOB = 180^\circ$ . Тогда $\angle KOB + \angle BOK_1 = \angle KOB + \angle AOK = 180^\circ$ .
Лучи $$OK$$ и $$OK_1$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ , поэтому угол $$KOK_1$$ составлен из углов $$KOB$$ и $$BOK_1$$ и равен $180^\circ$ — он развёрнутый. Значит, лучи $$OK$$ и $$OK_1$$ дополняют друг друга до прямой, и $$O$$ лежит на прямой $$KK_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано, угол KOK₁ развёрнутый, точка O лежит на прямой KK₁

Почему так

Из равенства треугольников ∠AOK = ∠BOK₁, и угол KOK₁ равен сумме смежных углов, то есть 180°.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-2/upr-170/