Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 171

Задача 1

Условие (кратко)

Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O, точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что O — середина отрезка MN.

Решение

Дано: $$AO = OB$$ , $$CO = OD$$ ; $$M$$ — середина $$AC$$ , $$N$$ — середина $$BD$$ . Доказать: $$O$$ — середина $$MN$$ .

В треугольниках $$AOC$$ и $$BOD$$ : $$AO = BO$$ , $$CO = DO$$ , $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные). По первому признаку $\triangle AOC = \triangle BOD$ , поэтому $$AC = BD$$ .
Тогда $AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{BD}{2} = BN$ .
Точки $M \in AC$ и $N \in BD$ удовлетворяют условию задачи 170 ( $$AM = BN$$ ). По ней $$OM = ON$$ и точка $$O$$ лежит на прямой $$MN$$ .
Точки $$M$$ и $$N$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ (как $$C$$ и $$D$$ ), поэтому $$O$$ лежит между $$M$$ и $$N$$ , а с учётом $$OM = ON$$ — это середина отрезка $$MN$$ .

Ответ

Утверждение доказано, OM = ON и O лежит на отрезке MN

Почему так

Из равенства треугольников AOC и BOD следует AC = BD, значит, AM = BN, и работает задача 170.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).