Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 172

Задача 1

Условие (кратко)

Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены на равные отрезки AD, CE, BF (на рисунке D на продолжении BA за A, E — AC за C, F — CB за B). Докажите, что △DEF равносторонний.

Решение

Дано: $$AB = BC = CA$$ ; $$D$$ на продолжении $$BA$$ за точку $$A$$ , $$E$$ на продолжении $$AC$$ за точку $$C$$ , $$F$$ на продолжении $$CB$$ за точку $$B$$ ; $$AD = CE = BF$$ . Доказать: $$DE = EF = FD$$ .

Углы равностороннего треугольника равны: $\angle A = \angle B = \angle C$ (углы при основании равнобедренного треугольника, взятого с разными основаниями).
Углы $$DBF$$ , $$FCE$$ , $$EAD$$ смежные с углами $$B$$ , $$C$$ , $$A$$ треугольника: например, луч $$BD$$ совпадает с лучом $$BA$$ , а луч $$BF$$ дополняет луч $$BC$$ . Смежные с равными углами равны, поэтому $\angle DBF = \angle FCE = \angle EAD$ .
Длинные стороны: $$BD = BA + AD$$ , $$CF = CB + BF$$ , $$AE = AC + CE$$ — суммы равных отрезков, поэтому $$BD = CF = AE$$ . Короткие: $$BF = CE = AD$$ по условию.
В треугольниках $$DBF$$ , $$FCE$$ , $$EAD$$ равны стороны $$BD = CF = AE$$ , $$BF = CE = AD$$ и углы между ними. По первому признаку $\triangle DBF = \triangle FCE = \triangle EAD$ , поэтому $$DF = FE = ED$$ , и треугольник $$DEF$$ равносторонний.

Ответ

Утверждение доказано, DF = FE = ED

Почему так

Три треугольника у вершин равны по первому признаку — по двум сторонам и углу между ними (углы, смежные с равными углами треугольника, равны), поэтому равны стороны DE, EF, FD.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).