Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 173

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольнике ABC ∠A = 38°, ∠B = 110°, ∠C = 32°. На стороне AC отмечены точки D и E (D на отрезке AE), BD = DA, BE = EC. Найдите угол DBE.

Решение

Дано

$\angle A = 38^\circ$
$\angle B = 110^\circ$
$\angle C = 32^\circ$ ; $$D$$
$$E$$ на $$AC$$
точки идут в порядке $$A$$
$$D$$
$$E$$
$$C$$ ; $$BD = DA$$
$$BE = EC$$

Найти

$\angle DBE$

$\triangle ABD$ равнобедренный с основанием $$AB$$ ( $$DA = DB$$ ), углы при основании равны: $\angle ABD = \angle BAD = 38^\circ$ .
$\triangle BEC$ равнобедренный с основанием $$BC$$ ( $$EB = EC$$ ): $\angle EBC = \angle ECB = 32^\circ$ .
Точки $$D$$ и $$E$$ лежат на стороне $$AC$$ в порядке $$A$$ , $$D$$ , $$E$$ , $$C$$ , поэтому лучи $$BD$$ и $$BE$$ делят угол $$ABC$$ на три угла: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBE + \angle EBC$ .
$\angle DBE = 110^\circ - 38^\circ - 32^\circ = 40^\circ$ .

Ответ

∠DBE = 40°

Почему так

В равнобедренных треугольниках ABD и BEC углы при основаниях равны углам A и C, а угол DBE — остаток угла B.

Подробнее — в теме «Равнобедренный треугольник и его свойства».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).