Задача 1
На рисунке A, B, C на одной прямой, D, E, F на другой, отрезки CD, BE, AF проходят через O; OC = OD, OB = OE. Докажите, что AB = EF, и объясните способ измерения ширины озера AB.
Решение
Дано: точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой, \(D\), \(E\), \(F\) — на другой; \(O\) — общая точка отрезков \(CD\), \(BE\), \(AF\); \(OC = OD\), \(OB = OE\). Доказать: \(AB = EF\).
-
В треугольниках \(BOC\) и \(EOD\): \(OB = OE\), \(OC = OD\), \(\angle BOC = \angle EOD\) (вертикальные). По первому признаку \(\triangle BOC = \triangle EOD\), поэтому \(\angle OBC = \angle OED\).
-
Углы \(ABO\) и \(OBC\) смежные (точка \(B\) лежит между \(A\) и \(C\)), углы \(FEO\) и \(OED\) тоже смежные. Смежные с равными углами равны: \(\angle ABO = \angle FEO\).
-
В треугольниках \(ABO\) и \(FEO\): \(OB = OE\), \(\angle ABO = \angle FEO\), \(\angle AOB = \angle FOE\) (вертикальные). По второму признаку \(\triangle ABO = \triangle FEO\), значит, \(AB = EF\).
Способ измерения ширины озера. 1) Выбирают на суше точку \(O\), откуда видны \(A\) и \(B\), и отмечают вехой точку \(C\) на прямой \(AB\) за точкой \(B\). 2) Продолжают прямую \(CO\) за точку \(O\) и откладывают \(OD = OC\). 3) Продолжают прямую \(BO\) за \(O\) и откладывают \(OE = OB\). 4) Идут по прямой \(DE\) от точки \(E\) до точки \(F\), из которой веха \(O\) закрывает точку \(A\) (точки \(A\), \(O\), \(F\) на одной прямой). 5) Измеряют на суше отрезок \(EF\) — он равен ширине озера \(AB\).
Ответ
Равенство треугольников BOC и EOD даёт равные углы при B и E, затем треугольники ABO и FEO равны по второму признаку.
Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».