Какой набор равенств — это в точности условие второго признака для треугольников ABC и A_1B_1C_1?

AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁

AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁

∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁

AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠A = ∠A₁

Почему в доказательстве второго признака вершина C совмещается с вершиной C_1?

Точка C попадает и на луч A₁C₁, и на луч B₁C₁, а общая точка у них одна — C₁

Потому что AC = A₁C₁ по условию

Потому что треугольники равнобедренные

Потому что работает первый признак

Какие утверждения верны?

Если равны сторона и два прилежащих к ней угла, треугольники равны

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны

Если все три угла одного треугольника равны углам другого, треугольники обязательно равны

Для второго признака подходят любая сторона и любые два угла

Второй признак равенства треугольников

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Первый признак равенства треугольников

Коротко о главном

Если у двух треугольников равны одна сторона и оба угла при её концах, то такие треугольники равны. Это второй признак равенства треугольников — его называют признаком «по стороне и двум прилежащим углам».

AB = A_1B_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1 \ \Rightarrow\ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1

Подробное объяснение

Представь, что тебе дали отрезок 6 см и сказали: «Из левого конца проведи луч под углом 50°, из правого — под углом 70°, оба в одну сторону». Лучи пересекутся в одной-единственной точке. Получится треугольник, и как бы аккуратно его ни чертили разные люди, все треугольники совпадут. Сторона и два угла при её концах полностью задают треугольник.

Теорема

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащие к стороне углы — это углы, вершины которых лежат на концах этой стороны. У стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$ прилежащие углы — $\angle A$ и $\angle B$ . Угол $$C$$ лежит против неё.

Два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Стороны AB и A₁B₁ выделены цветом, углы A и A₁ отмечены одной дугой, углы B и B₁ — двумя. — Равны сторона и два прилежащих к ней угла — треугольники равны.

Почему это верно

Пусть $$AB = A_1B_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ . Наложим треугольник $$ABC$$ на $$A_1B_1C_1$$ так, чтобы сторона $$AB$$ совпала с равной ей стороной $$A_1B_1$$ , а вершины $$C$$ и $$C_1$$ оказались по одну сторону от прямой $$A_1B_1$$ .

Углы при $$A$$ и $$A_1$$ равны, поэтому сторона $$AC$$ ляжет на луч $$A_1C_1$$ . Углы при $$B$$ и $$B_1$$ тоже равны, значит, сторона $$BC$$ ляжет на луч $$B_1C_1$$ . Вершина $$C$$ лежит на обеих сторонах, поэтому окажется и на луче $$A_1C_1$$ , и на луче $$B_1C_1$$ . Общая точка у этих лучей одна — $$C_1$$ . Значит, $$C$$ совпадёт с $$C_1$$ , и треугольники совместятся целиком.

Чем отличается от первого признака

Первый признак: равны две стороны и угол между ними.
Второй признак: равны сторона и два угла при её концах.

В первом признаке угол «зажат» между сторонами, во втором — сторона «зажата» между углами.

Как решать задачи

Выпиши, что дано: какие стороны и углы равны.
Найди два треугольника, в которые входят эти элементы. Часто помогают «бесплатные» равенства: общая сторона, вертикальные углы, половины угла, разделённого биссектрисой, прямые углы при перпендикуляре.
Проверь, что равные углы прилежат именно к равной стороне.
Запиши: «по второму признаку $\triangle \ldots = \triangle \ldots$ » — и порядок вершин так, чтобы соответственные вершины стояли на одних местах.
Сделай вывод: в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, против равных сторон — равные углы.

Разобранные примеры

База

Найти сторону по равенству треугольников

Условие

У треугольников $$DEF$$ и $$PQR$$ $$DE = PQ = 8$$ см, $\angle D = \angle P = 55^\circ$ , $\angle E = \angle Q = 75^\circ$ , $$QR = 6$$ см. Найдите $$EF$$ .

Дано

$$DE = PQ$$
$\angle D = \angle P$
$\angle E = \angle Q$
$$QR = 6$$ см

Найти

$$EF$$

Решение

К стороне $$DE$$ прилежат углы $$D$$ и $$E$$ , к стороне $$PQ$$ — углы $$P$$ и $$Q$$ . Они попарно равны, поэтому по второму признаку $\triangle DEF = \triangle PQR$ . Вершине $$E$$ соответствует $$Q$$ , вершине $$F$$ — $$R$$ , значит, $$EF = QR = 6$$ см.

Ответ: EF = 6 см

Средний

Вертикальные углы помогают

Условие

Отрезки $$MN$$ и $$KL$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$MO = ON$$ , $\angle KMO = \angle LNO$ . Докажите, что $$KO = OL$$ .

Решение

Дано: $$MO = ON$$ , $\angle KMO = \angle LNO$ . Доказать: $$KO = OL$$ .

В треугольниках $$KMO$$ и $$LNO$$ : $$MO = NO$$ , $\angle KMO = \angle LNO$ , $\angle MOK = \angle NOL$ как вертикальные. Это сторона и два прилежащих к ней угла, значит, по второму признаку $\triangle KMO = \triangle LNO$ . Отсюда $$KO = LO$$ .

Ответ: Утверждение доказано: KO = OL

Сложный

Биссектриса и перпендикуляр

Условие

Через точку $$D$$ на биссектрисе угла $$A$$ провели прямую, перпендикулярную биссектрисе. Она пересекла стороны угла в точках $$B$$ и $$C$$ . Найдите $$AC$$ , если $$AB = 11$$ см.

Дано

$$AD$$ — биссектриса
$BC \perp AD$
$$AB = 11$$ см

Найти

$$AC$$

Решение

В треугольниках $$ABD$$ и $$ACD$$ сторона $$AD$$ общая, $\angle BAD = \angle CAD$ (биссектриса), $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ . По второму признаку $\triangle ABD = \triangle ACD$ , поэтому $$AC = AB = 11$$ см.

Ответ: AC = 11 см

Типичные ошибки

Берут угол, который не прилежит к равной стороне

Почему неверно

Во втором признаке оба угла должны лежать на концах равной стороны. Если равны $$AB = A_1B_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$ , то угол $$C$$ к стороне $$AB$$ не прилежит — второй признак так применять нельзя.

Как правильно

Отметь на рисунке равную сторону и проверь, что вершины обоих углов — её концы. Если это не так, ищи другую пару треугольников или другой признак.

Путают порядок вершин в записи равенства

Почему неверно

Запись $\triangle ABC = \triangle KMN$ означает, что $$A$$ соответствует $$K$$ , $$B$$ — $$M$$ , $$C$$ — $$N$$ . Если записать вершины в другом порядке, потом легко «найти» не ту сторону.

Как правильно

Записывай вершины так, чтобы равные углы стояли на одних и тех же местах. Тогда соответственные стороны читаются прямо из записи: $$BC = MN$$ , $$AC = KN$$ .

Считают, что треугольники с равными углами равны

Почему неверно

Три равных угла не задают размер: маленький и большой треугольники могут иметь одинаковые углы. Во втором признаке обязательна равная сторона.

Как правильно

Всегда ищи хотя бы одну пару равных сторон — без неё ни один признак равенства не работает.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

У треугольников $$ABC$$ и $$KMN$$ $$AB = KM = 7$$ см, $\angle A = \angle K = 40^\circ$ , $\angle B = \angle M = 65^\circ$ . Сторона $$AC$$ равна 5 см. Найдите $$KN$$ .

Подсказка

Какие элементы даны — сторона и углы при её концах? Какой стороне $$KMN$$ соответствует $$AC$$ ?

Решение

Сторона $$AB$$ и прилежащие к ней углы $$A$$ и $$B$$ равны стороне $$KM$$ и прилежащим углам $$K$$ и $$M$$ . По второму признаку $\triangle ABC = \triangle KMN$ , вершине $$C$$ соответствует $$N$$ . Значит, $$KN = AC = 5$$ см.

Ответ

5 см

База Задача 2

Маша и Петя начертили по треугольнику. У обоих есть сторона 6 см, а углы при концах этой стороны равны 50° и 70°. Обязательно ли треугольники равны?

Решение

Да. Сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим углам другого — по второму признаку треугольники равны.

Ответ

Да, по второму признаку

Средний Задача 3

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$AO = OB$$ , $\angle CAO = \angle DBO$ . Найдите $$BD$$ и $$OD$$ , если $$CD = 20$$ см, $$AC = 7$$ см.

Подсказка

Найдите пару вертикальных углов при точке $$O$$ .

Решение

В треугольниках $$AOC$$ и $$BOD$$ $$AO = BO$$ , $\angle OAC = \angle OBD$ , $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные). По второму признаку они равны, поэтому $$BD = AC = 7$$ см и $$OD = OC$$ . Точка $$O$$ лежит на $$CD$$ , значит, $$OD = 20 / 2 = 10$$ см.

Ответ

BD = 7 см, OD = 10 см

Средний Задача 4

В треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$BD$$ перпендикулярна стороне $$AC$$ , $$AB = 9$$ см, $$AD = 4$$ см. Найдите периметр треугольника $$ABC$$ .

Подсказка

Биссектриса делит треугольник на два треугольника. Сравните их.

Решение

В треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$ сторона $$BD$$ общая, $\angle ABD = \angle CBD$ (биссектриса), $\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ$ . По второму признаку они равны, поэтому $$BC = AB = 9$$ см, $$DC = AD = 4$$ см, $$AC = 8$$ см. Периметр $$9 + 9 + 8 = 26$$ см.

Ответ

26 см

Сложный Задача 5

В четырёхугольнике $$ABCD$$ диагональ $$AC$$ является биссектрисой и угла $$A$$ , и угла $$C$$ . $$AB = 5$$ см, $$BC = 7$$ см. Найдите периметр $$ABCD$$ .

Подсказка

Диагональ $$AC$$ — общая сторона треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$ .

Решение

В треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ сторона $$AC$$ общая, $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle BCA = \angle DCA$ (биссектрисы). По второму признаку $\triangle ABC = \triangle ADC$ , поэтому $$AD = AB = 5$$ см, $$CD = CB = 7$$ см. Периметр $$5 + 7 + 7 + 5 = 24$$ см.

Ответ

24 см

Сложный Задача 6

Докажите, что если в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB = A_1B_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ и биссектрисы $$AL$$ и $$A_1L_1$$ равны, то треугольники равны.

Подсказка

Сначала сравните треугольники $$ABL$$ и $$A_1B_1L_1$$ — какой признак к ним подходит?

Решение

Половины равных углов равны: $\angle BAL = \angle B_1A_1L_1$ . В треугольниках $$ABL$$ и $$A_1B_1L_1$$ $$AB = A_1B_1$$ , $$AL = A_1L_1$$ и угол между ними равен — по первому признаку они равны, значит, $\angle B = \angle B_1$ . Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны сторона $$AB$$ и прилежащие углы $$A$$ и $$B$$ — по второму признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

Ответ

Утверждение доказано

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол линейку длиной 10 см — это сторона. Из её концов проведите карандашом два луча под заданными углами (можно по транспортиру или по уголку тетради). Лучи пересекутся в одной точке, и треугольник получится только один. Попросите ребёнка повторить на другом листе и наложить листы на свет — треугольники совпадут. Вопросы для проверки понимания: 1) Какие углы называются прилежащими к стороне? 2) Чем второй признак отличается от первого? 3) Равны ли треугольники, если у них равны все три угла? На что обратить внимание. Ребёнок должен сам находить «скрытые» равенства — общую сторону, вертикальные углы, половины угла при биссектрисе — и проверять, что равные углы прилежат именно к равной стороне.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 19	126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139