Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 175

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, если AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, AD = A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.

Решение

Дано: $$AB = A_1B_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ , $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы, $$AD = A_1D_1$$ . Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

Биссектриса делит угол пополам: $\angle BAD = \dfrac{\angle A}{2} = \dfrac{\angle A_1}{2} = \angle B_1A_1D_1$ .
В треугольниках $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ : $$AB = A_1B_1$$ , $$AD = A_1D_1$$ , $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$ . По первому признаку $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ , поэтому $\angle B = \angle B_1$ .
В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ : $$AB = A_1B_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ . По второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам) $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

Ответ

Утверждение доказано, треугольники равны по второму признаку

Почему так

Половинки треугольников ABD и A₁B₁D₁ равны по первому признаку, это даёт ∠B = ∠B₁, а затем работает второй признак.

Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).