Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 176

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольниках ABC и ADC стороны BC и AD равны и пересекаются в точке O, ∠OAC = ∠OCA. Докажите, что треугольники ABO и CDO равны.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ с общей стороной $$AC$$ ; отрезки $$BC$$ и $$AD$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$BC = AD$$ , $\angle OAC = \angle OCA$ . Доказать: $\triangle ABO = \triangle CDO$ .

Так как $$O$$ лежит на отрезках $$AD$$ и $$BC$$ , то $\angle DAC = \angle OAC$ и $\angle BCA = \angle OCA$ , значит, $\angle DAC = \angle BCA$ .
В треугольниках $$ABC$$ и $$CDA$$ : $$BC = DA$$ , сторона $$AC$$ общая, $\angle BCA = \angle DAC$ . По первому признаку $\triangle ABC = \triangle CDA$ , откуда $$AB = CD$$ .
В треугольнике $$AOC$$ углы при стороне $$AC$$ равны, значит, он равнобедренный: $$OA = OC$$ .
$$OB = BC - OC$$ , $$OD = AD - OA$$ , а $$BC = AD$$ , $$OC = OA$$ , поэтому $$OB = OD$$ .
В треугольниках $$ABO$$ и $$CDO$$ : $$AB = CD$$ , $$BO = DO$$ , $$AO = CO$$ . По третьему признаку (по трём сторонам) $\triangle ABO = \triangle CDO$ .

Ответ

Утверждение доказано, треугольники ABO и CDO равны по трём сторонам

Почему так

Из равенства треугольников ABC и CDA получаем AB = CD, а равнобедренный треугольник AOC даёт OA = OC и OB = OD.

Подробнее — в теме «Третий признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).