Какое условие — это третий признак равенства треугольников ABC и A_1B_1C_1?

AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁

AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁

AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁

Равны все три угла

Почему треугольник из трёх скреплённых реек нельзя перекосить?

Любой треугольник с теми же сторонами равен исходному, значит, углы не могут измениться

Потому что у треугольника мало вершин

Потому что рейки очень прочные

Потому что сумма сторон не меняется

Какие конструкции из реек, скреплённых на шарнирах, получатся жёсткими?

Треугольник из трёх реек

Квадрат из четырёх реек с рейкой-диагональю

Квадрат из четырёх реек

Две рейки, скреплённые одним концом

У двух треугольников все три угла соответственно равны. Что можно сказать о треугольниках?

Они могут быть не равны

Они обязательно равны по третьему признаку

Они обязательно равны по второму признаку

Третий признак равенства треугольников

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Коротко о главном

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие треугольники равны. Это третий признак равенства треугольников — «по трём сторонам». Из него следует, что треугольник — жёсткая фигура.

AB = A_1B_1,\ BC = B_1C_1,\ CA = C_1A_1 \ \Rightarrow\ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1

Подробное объяснение

Возьми три палочки: 4 см, 5 см и 6 см. Сложи из них треугольник. Как бы ты ни старался, получить «другой» треугольник из тех же палочек не выйдет — можно только повернуть или перевернуть тот же самый. Длины трёх сторон полностью задают треугольник.

Теорема

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В этом признаке углы вообще не нужны: достаточно знать только длины сторон. Зато потом из равенства треугольников можно получить равенство углов — против равных сторон лежат равные углы.

Два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Соответственные стороны окрашены одинаково и отмечены одной, двумя и тремя чёрточками. — Три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого — треугольники равны.

Идея доказательства

Пусть $$AB = A_1B_1$$ , $$BC = B_1C_1$$ , $$CA = C_1A_1$$ . Приложим треугольник $$ABC$$ к $$A_1B_1C_1$$ так, чтобы $$A$$ совпала с $$A_1$$ , $$B$$ — с $$B_1$$ , а вершины $$C$$ и $$C_1$$ оказались по разные стороны от прямой $$A_1B_1$$ . Соединим $$C$$ и $$C_1$$ .

Получились два равнобедренных треугольника: $$A_1C_1C$$ (так как $$A_1C = A_1C_1$$ ) и $$B_1C_1C$$ (так как $$B_1C = B_1C_1$$ ). Углы при основании $$CC_1$$ в каждом из них равны. Складывая эти углы, получаем, что угол при вершине $$C$$ равен углу при вершине $$C_1$$ . Теперь у треугольников равны две стороны и угол между ними — они равны по первому признаку. (Так рассматривается случай, когда отрезок $$CC_1$$ пересекает $$A_1B_1$$ ; остальные случаи разбираются похоже.)

Жёсткость треугольника

Две рейки, скреплённые гвоздём на одном конце, можно раздвигать — угол между ними меняется. Но если соединить свободные концы третьей рейкой, получится треугольник, и он уже не перекашивается. Почему? Если бы угол изменился, получился бы новый треугольник с теми же тремя сторонами, но не равный старому. А по третьему признаку это невозможно.

Поэтому в мостах, подъёмных кранах, опорах ЛЭП и стропилах крыши так много треугольников. Подпорка у столба или кронштейн полки под углом — тоже треугольники. А вот четырёхугольник из реек жёстким не будет: квадрат легко сложить в «ромбик», пока не добавишь диагональ.

Как решать задачи

Отметь на рисунке равные стороны одинаковыми чёрточками.
Найди два треугольника, у которых все три стороны попарно равны. Часто одна сторона — общая для обоих треугольников.
Запиши равенство треугольников так, чтобы соответственные вершины стояли на одних местах.
Выпиши нужный вывод: против равных сторон лежат равные углы.
Если нужно доказать что-то ещё, используй полученные равные углы в первом или втором признаке.

Разобранные примеры

База

Найти угол по трём сторонам

Условие

У треугольников $$MNK$$ и $$PQR$$ $$MN = PQ$$ , $$NK = QR$$ , $$KM = RP$$ , $\angle N = 64^\circ$ . Найдите $\angle Q$ .

Дано

$$MN = PQ$$
$$NK = QR$$
$$KM = RP$$
$\angle N = 64^\circ$

Найти

$\angle Q$

Решение

По третьему признаку $\triangle MNK = \triangle PQR$ . Вершине $$N$$ соответствует $$Q$$ : угол $$N$$ лежит против стороны $$KM$$ , угол $$Q$$ — против равной ей стороны $$RP$$ . Значит, $\angle Q = \angle N = 64^\circ$ .

Ответ: ∠Q = 64°

Средний

Общая сторона

Условие

Точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$ , $$AB = AD$$ , $$CB = CD$$ . Найдите $\angle ACD$ , если $\angle BCD = 70^\circ$ .

Дано

$$AB = AD$$
$$CB = CD$$
$\angle BCD = 70^\circ$

Найти

$\angle ACD$

Решение

В треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ : $$AB = AD$$ , $$CB = CD$$ , $$AC$$ — общая сторона. По третьему признаку они равны, поэтому $\angle ACB = \angle ACD$ . Точки $$B$$ и $$D$$ по разные стороны от $$AC$$ , значит, луч $$CA$$ делит угол $$BCD$$ пополам: $\angle ACD = 70^\circ : 2 = 35^\circ$ .

Ответ: ∠ACD = 35°

Сложный

Сначала третий признак, потом первый

Условие

В четырёхугольнике $$ABCD$$ $$AB = CD$$ , $$BC = AD$$ . Точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$ , точки $$M$$ и $$N$$ — на сторонах $$BC$$ и $$AD$$ , причём $$CM = AN$$ . Докажите, что $$OM = ON$$ .

Решение

Дано: $$AB = CD$$ , $$BC = AD$$ , $$AO = OC$$ , $$CM = AN$$ . Доказать: $$OM = ON$$ .

В треугольниках $$ABC$$ и $$CDA$$ $$AB = CD$$ , $$BC = DA$$ , $$AC$$ — общая. По третьему признаку они равны, поэтому $\angle BCA = \angle DAC$ , то есть $\angle MCO = \angle NAO$ . В треугольниках $$MCO$$ и $$NAO$$ : $$CM = AN$$ , $$CO = AO$$ и углы между ними равны. По первому признаку $\triangle MCO = \triangle NAO$ , значит, $$OM = ON$$ .

Ответ: Утверждение доказано: OM = ON

Типичные ошибки

Считают, что равные углы дают равные треугольники

Почему неверно

Признака «по трём углам» нет. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 см и треугольник со сторонами 6, 8, 10 см имеют одинаковые углы, но второй вдвое больше.

Как правильно

В третьем признаке равны именно три стороны. Если известны только углы, равенство треугольников доказать нельзя.

Не замечают общую сторону

Почему неверно

В задаче часто даны только две пары равных сторон, и кажется, что для третьего признака данных не хватает. А третья пара — это общая сторона двух треугольников, о ней в условии не пишут.

Как правильно

Всегда проверяй: нет ли у двух треугольников общей стороны? Она равна сама себе — это и есть третья пара.

Путают, какой угол какому равен

Почему неверно

Из $\triangle ABC = \triangle BAD$ ученики иногда пишут $\angle CAB = \angle DAB$ , хотя углы соответствуют по порядку вершин: $A \to B$ , $B \to A$ .

Как правильно

Ищи угол, лежащий против равной стороны: угол $$CAB$$ лежит против $$BC$$ , значит, ему равен угол, лежащий против $$AD$$ , то есть $\angle DBA$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

У треугольников $$ABC$$ и $$DEF$$ $$AB = DE = 5$$ см, $$BC = EF = 6$$ см, $$AC = DF = 7$$ см, $\angle B = 78^\circ$ . Найдите $\angle E$ .

Подсказка

Против какой стороны лежит угол $$B$$ ? А угол $$E$$ ?

Решение

Три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого, по третьему признаку $\triangle ABC = \triangle DEF$ . Угол $$B$$ лежит против стороны $$AC$$ , угол $$E$$ — против равной ей стороны $$DF$$ , поэтому $\angle E = \angle B = 78^\circ$ .

Ответ

78°

База Задача 2

Маша и Петя взяли по три палочки длиной 4 см, 5 см и 6 см и сложили каждый свой треугольник. Обязательно ли их треугольники равны?

Решение

Да. Стороны одного треугольника соответственно равны сторонам другого, по третьему признаку треугольники равны.

Ответ

Да, по третьему признаку

Средний Задача 3

Точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$ , $$AB = AD$$ , $$CB = CD$$ , $\angle BAC = 32^\circ$ . Найдите $\angle BAD$ .

Подсказка

Сравните треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$ .

Решение

В треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ $$AB = AD$$ , $$CB = CD$$ , сторона $$AC$$ общая. По третьему признаку они равны, поэтому $\angle DAC = \angle BAC = 32^\circ$ . Луч $$AC$$ проходит между лучами $$AB$$ и $$AD$$ , значит, $\angle BAD = 32^\circ + 32^\circ = 64^\circ$ .

Ответ

64°

Средний Задача 4

В четырёхугольнике $$ABCD$$ $$AB = CD$$ , $$BC = AD$$ , $\angle BAC = 40^\circ$ , $\angle ACB = 30^\circ$ . Найдите $\angle ACD$ и $\angle CAD$ .

Подсказка

Диагональ $$AC$$ — общая сторона треугольников $$ABC$$ и $$CDA$$ .

Решение

В треугольниках $$ABC$$ и $$CDA$$ $$AB = CD$$ , $$BC = DA$$ , $$AC$$ — общая. По третьему признаку $\triangle ABC = \triangle CDA$ ( $A \to C$ , $B \to D$ , $C \to A$ ). Поэтому $\angle ACD = \angle CAB = 40^\circ$ и $\angle CAD = \angle ACB = 30^\circ$ .

Ответ

∠ACD = 40°, ∠CAD = 30°

Сложный Задача 5

Точки $$O$$ и $$P$$ лежат по разные стороны от отрезка $$AB$$ , $$OA = OB$$ , $$PA = PB$$ . Докажите, что луч $$OP$$ — биссектриса угла $$AOB$$ .

Подсказка

Отрезок $$OP$$ — общая сторона двух треугольников.

Решение

В треугольниках $$AOP$$ и $$BOP$$ $$OA = OB$$ , $$PA = PB$$ , сторона $$OP$$ общая. По третьему признаку $\triangle AOP = \triangle BOP$ , поэтому $\angle AOP = \angle BOP$ . Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от прямой $$OP$$ , значит, луч $$OP$$ проходит внутри угла $$AOB$$ и делит его пополам.

Ответ

Утверждение доказано

Сложный Задача 6

Точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$ , $$AC = BD$$ , $$BC = AD$$ , $\angle CAB = 35^\circ$ . Найдите $\angle DBA$ .

Подсказка

Сравните треугольники $$ABC$$ и $$BAD$$ — обратите внимание на порядок вершин.

Решение

В треугольниках $$ABC$$ и $$BAD$$ $$AC = BD$$ , $$BC = AD$$ , $$AB$$ — общая. По третьему признаку $\triangle ABC = \triangle BAD$ ( $A \to B$ , $B \to A$ , $C \to D$ ). Угол $$CAB$$ лежит против стороны $$BC$$ , угол $$DBA$$ — против равной ей стороны $$AD$$ , поэтому $\angle DBA = \angle CAB = 35^\circ$ .

Ответ

35°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите четыре полоски картона и кнопки или канцелярские скрепки-гвоздики. Скрепите три полоски в треугольник — пусть ребёнок попробует его перекосить: не получится. Потом соберите четырёхугольник — он легко складывается. Добавьте диагональ — и он тоже станет жёстким. Объясните: из трёх данных сторон можно сложить только один треугольник, поэтому углам некуда «деваться». Вопросы для проверки понимания: 1) Какие элементы должны быть равны в третьем признаке? 2) Почему треугольник — жёсткая фигура? 3) Равны ли два треугольника, если у них равны все углы? На что обратить внимание. Ребёнок должен замечать общую сторону двух треугольников и правильно сопоставлять вершины — по тому, против каких равных сторон лежат углы.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 20	140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147