Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 177

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке AC = AD, отрезок AB перпендикулярен CD и пересекает его (C и D по разные стороны от AB). Докажите, что BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.

Решение

Дано: $$AC = AD$$ , $AB \perp CD$ , $$H$$ — точка пересечения $$AB$$ и $$CD$$ . Доказать: $$BC = BD$$ , $\angle ACB = \angle ADB$ .

$\triangle ACD$ равнобедренный с основанием $$CD$$ . Отрезок $$AH$$ — перпендикуляр из $$A$$ к прямой $$CD$$ , то есть высота треугольника.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой. Из точки $$A$$ к прямой $$CD$$ можно провести только один перпендикуляр, поэтому высота $$AH$$ совпадает с этой биссектрисой: $\angle CAB = \angle DAB$ .
В треугольниках $$ABC$$ и $$ABD$$ : $$AC = AD$$ , сторона $$AB$$ общая, $\angle CAB = \angle DAB$ . По первому признаку $\triangle ABC = \triangle ABD$ .
Отсюда $$BC = BD$$ и $\angle ACB = \angle ADB$ .

Ответ

Утверждение доказано, BC = BD и ∠ACB = ∠ADB

Почему так

Высота равнобедренного треугольника ACD, проведённая к основанию, является биссектрисой, поэтому треугольники ABC и ABD равны по первому признаку.

Подробнее — в теме «Равнобедренный треугольник и его свойства».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).