Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 178

Условие (кратко)

Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника (повышенной трудности).

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , точка $$D$$ лежит на продолжении стороны $$CA$$ за точку $$A$$ , $\angle BAD$ — смежный с углом $$A$$ . Доказать: $\angle BAD > \angle B$ и $\angle BAD > \angle C$ .

Докажем, что $\angle BAD > \angle B$ .

Отметим середину $$O$$ стороны $$AB$$ , на продолжении отрезка $$CO$$ за точку $$O$$ отложим $$OE = CO$$ .
В треугольниках $$BOC$$ и $$AOE$$ : $$BO = AO$$ , $$CO = EO$$ , $\angle BOC = \angle AOE$ (вертикальные). По первому признаку $\triangle BOC = \triangle AOE$ , поэтому $\angle OAE = \angle OBC$ , то есть $\angle BAE = \angle B$ .
Точка $$E$$ лежит внутри угла $$BAD$$ . Действительно, отрезок $$CE$$ пересекает прямую $$AB$$ (в точке $$O$$ ), и отрезок $$CD$$ тоже (в точке $$A$$ ), значит, $$E$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$ . А отрезок $$BE$$ не пересекает прямую $$AC$$ — точки $$B$$ , $$O$$ , $$E$$ лежат по одну сторону от неё (отрезки $$BO$$ и $$OE$$ не имеют с прямой $$AC$$ общих точек).
Луч $$AE$$ проходит внутри угла $$BAD$$ , поэтому $\angle BAD > \angle BAE = \angle B$ .

Докажем, что $\angle BAD > \angle C$ . Пусть $$F$$ — точка на продолжении $$BA$$ за точку $$A$$ . Угол $$CAF$$ тоже смежный с углом $$A$$ , и $\angle CAF = \angle BAD$ (вертикальные). Повторив рассуждение с серединой стороны $$AC$$ (поменяв роли $$B$$ и $$C$$ ), получим $\angle CAF > \angle C$ . Значит, $\angle BAD > \angle C$ .

Ответ

Утверждение доказано, угол, смежный с углом A, больше углов B и C

Почему так

Удвоив отрезок от вершины C через середину AB, получаем угол, равный углу B и лежащий внутри смежного угла.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Задание 178

Задача 1