Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 179

Условие (кратко)

Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, BC = B₁C₁ (повышенной трудности).

Решение

Дано: $\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ , $$BC = B_1C_1$$ . Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

Докажем, что $$AB = A_1B_1$$ . Допустим, это не так, например $$AB > A_1B_1$$ (другой случай — так же, поменяв треугольники местами).
Отложим на стороне $$BA$$ отрезок $$BA_2 = B_1A_1$$ . Так как $$BA_2 < BA$$ , точка $$A_2$$ лежит между $$B$$ и $$A$$ .
В треугольниках $$A_2BC$$ и $$A_1B_1C_1$$ : $$BA_2 = B_1A_1$$ , $$BC = B_1C_1$$ , $\angle A_2BC = \angle B = \angle B_1$ . По первому признаку они равны, поэтому $\angle BA_2C = \angle A_1 = \angle A$ .
Но угол $$BA_2C$$ смежный с углом $$AA_2C$$ треугольника $$AA_2C$$ , и по задаче 178 он больше угла $$A_2AC$$ этого треугольника. Луч $$AA_2$$ совпадает с лучом $$AB$$ , поэтому $\angle A_2AC = \angle A$ , и выходит $\angle BA_2C > \angle A$ — противоречие.
Значит, $$AB = A_1B_1$$ . В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ : $$AB = A_1B_1$$ , $$BC = B_1C_1$$ , $\angle B = \angle B_1$ , и по первому признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

Ответ

Утверждение доказано, треугольники равны (сторона и два угла, один из которых противолежащий)

Почему так

Если бы AB ≠ A₁B₁, внутри треугольника нашёлся бы угол, равный ∠A и одновременно больший его как смежный (задача 178).

Задание 179