Задача 1
На сторонах угла XOY отмечены A, C на OX и B, D на OY так, что OA = OB, AC = BD. Прямые AD и BC пересекаются в E. Докажите, что OE — биссектриса угла XOY; опишите построение (повышенной трудности).
Решение
Дано: \(A\), \(C\) на луче \(OX\), \(B\), \(D\) на луче \(OY\), \(A\) между \(O\) и \(C\), \(B\) между \(O\) и \(D\); \(OA = OB\), \(AC = BD\); \(E\) — точка пересечения \(AD\) и \(BC\). Доказать: луч \(OE\) — биссектриса угла \(XOY\).
-
\(OC = OA + AC = OB + BD = OD\).
-
В треугольниках \(AOD\) и \(BOC\): \(OA = OB\), \(OD = OC\), угол \(O\) общий. По первому признаку \(\triangle AOD = \triangle BOC\), поэтому \(\angle OAD = \angle OBC\) и \(\angle ODA = \angle OCB\).
-
Углы \(EAC\) и \(OAD\) смежные, углы \(EBD\) и \(OBC\) тоже смежные; смежные с равными углами равны: \(\angle EAC = \angle EBD\). Кроме того, \(\angle ECA = \angle OCB = \angle ODA = \angle EDB\).
-
В треугольниках \(EAC\) и \(EBD\): \(AC = BD\), \(\angle EAC = \angle EBD\), \(\angle ECA = \angle EDB\). По второму признаку \(\triangle EAC = \triangle EBD\), поэтому \(EA = EB\).
-
В треугольниках \(OAE\) и \(OBE\): \(OA = OB\), \(EA = EB\), сторона \(OE\) общая. По третьему признаку \(\triangle OAE = \triangle OBE\), значит, \(\angle AOE = \angle BOE\) — луч \(OE\) биссектриса угла \(XOY\).
Построение биссектрисы. 1) Циркулем отложить на сторонах угла равные отрезки \(OA = OB\), затем равные большие отрезки \(OC = OD\). 2) Линейкой провести отрезки \(AD\) и \(BC\), отметить их точку пересечения \(E\). 3) Провести луч \(OE\) — это биссектриса. Для такого построения хватает линейки с двумя одинаковыми отметками: циркуль нужен только чтобы отложить равные отрезки.
Ответ
Цепочка равных треугольников (первый, второй и третий признаки) даёт EA = EB, а треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам.
Подробнее — в теме «Третий признак равенства треугольников».