Задача 1
Методом удвоения медианы докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, если AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, AM = A₁M₁, где AM и A₁M₁ — медианы (повышенной трудности).
Решение
Дано: \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), \(AM\) и \(A_1M_1\) — медианы, \(AM = A_1M_1\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
-
Удвоим медианы: на продолжении \(AM\) за точку \(M\) отложим \(MD = AM\), на продолжении \(A_1M_1\) — \(M_1D_1 = A_1M_1\). Тогда \(AD = 2AM = 2A_1M_1 = A_1D_1\).
-
В треугольниках \(AMC\) и \(DMB\): \(AM = DM\), \(CM = BM\), \(\angle AMC = \angle DMB\) (вертикальные). По первому признаку они равны, поэтому \(BD = AC\) и \(\angle MAC = \angle MDB\). Так же \(B_1D_1 = A_1C_1\) и \(\angle M_1A_1C_1 = \angle M_1D_1B_1\).
-
В треугольниках \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\): \(AB = A_1B_1\), \(BD = AC = A_1C_1 = B_1D_1\), \(AD = A_1D_1\). По третьему признаку \(\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1\), поэтому \(\angle BAD = \angle B_1A_1D_1\) и \(\angle ADB = \angle A_1D_1B_1\).
-
Из шагов 2 и 3: \(\angle MAC = \angle ADB = \angle A_1D_1B_1 = \angle M_1A_1C_1\).
-
Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\), поэтому луч \(AM\) проходит внутри угла \(BAC\) и \(\angle BAC = \angle BAM + \angle MAC\); так же у второго треугольника. Значит, \(\angle BAC = \angle B_1A_1C_1\).
-
В треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\). По первому признаку \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Ответ
Удвоение медианы даёт треугольник ABD со сторонами AB, AC и 2AM; такие треугольники равны по трём сторонам, откуда равны и углы A.
Подробнее — в теме «Третий признак равенства треугольников».