Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 182

Задача 1

Условие (кратко)

AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На AC и BC взяты K и L, на A₁C₁ и B₁C₁ — K₁ и L₁, AK = A₁K₁, LC = L₁C₁. Докажите, что KL = K₁L₁ (повышенной трудности).

Решение

Дано: $$AB = A_1B_1$$ , $$AC = A_1C_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ ; $K \in AC$ , $L \in BC$ , $K_1 \in A_1C_1$ , $L_1 \in B_1C_1$ ; $$AK = A_1K_1$$ , $$LC = L_1C_1$$ . Доказать: $$KL = K_1L_1$$ .

По первому признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ ( $$AB = A_1B_1$$ , $$AC = A_1C_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ ), поэтому $\angle C = \angle C_1$ .
$$KC = AC - AK = A_1C_1 - A_1K_1 = K_1C_1$$ .
В треугольниках $$KCL$$ и $$K_1C_1L_1$$ : $$KC = K_1C_1$$ , $$LC = L_1C_1$$ , $\angle KCL = \angle C = \angle C_1 = \angle K_1C_1L_1$ . По первому признаку они равны, значит, $$KL = K_1L_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано, KL = K₁L₁

Почему так

Из равенства исходных треугольников ∠C = ∠C₁, и треугольники KCL и K₁C₁L₁ равны по первому признаку.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На BC и B₁C₁ взяты точки L и L₁ так, что LC = L₁C₁. Докажите, что AL = A₁L₁ (повышенной трудности).

Решение

Дано: $$AB = A_1B_1$$ , $$AC = A_1C_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ ; $L \in BC$ , $L_1 \in B_1C_1$ , $$LC = L_1C_1$$ . Доказать: $$AL = A_1L_1$$ .

По первому признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ , поэтому $\angle C = \angle C_1$ .
В треугольниках $$ACL$$ и $$A_1C_1L_1$$ : $$AC = A_1C_1$$ , $$LC = L_1C_1$$ , $\angle ACL = \angle C = \angle C_1 = \angle A_1C_1L_1$ . По первому признаку они равны, значит, $$AL = A_1L_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано, AL = A₁L₁

Почему так

Равенство исходных треугольников даёт ∠C = ∠C₁, затем треугольники ACL и A₁C₁L₁ равны по первому признаку.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-2/upr-182/