Задача 1
Точки A, B, C лежат на одной прямой, точка D — не на ней. Докажите, что по крайней мере два из отрезков AD, BD, CD не равны друг другу (повышенной трудности).
Решение
Дано: \(A\), \(B\), \(C\) лежат на прямой \(a\), \(D\) не лежит на \(a\). Доказать: отрезки \(AD\), \(BD\), \(CD\) не могут быть все равны.
Из трёх точек прямой одна лежит между двумя другими; пусть это \(B\). Допустим, \(AD = BD = CD\).
-
\(\triangle ABD\) равнобедренный (\(DA = DB\)), углы при основании \(AB\) равны: \(\angle DAB = \angle DBA\).
-
\(\triangle CBD\) равнобедренный (\(DC = DB\)): \(\angle DCB = \angle DBC\).
-
\(\triangle ACD\) равнобедренный (\(DA = DC\)): \(\angle DAC = \angle DCA\). Но \(B\) лежит на отрезке \(AC\), поэтому \(\angle DAC = \angle DAB\) и \(\angle DCA = \angle DCB\). Значит, \(\angle DBA = \angle DAB = \angle DCB = \angle DBC\).
-
Углы \(DBA\) и \(DBC\) смежные, их сумма \(180^\circ\), и они равны, поэтому каждый равен \(90^\circ\): \(DB \perp a\).
-
Тогда и \(\angle DAB = 90^\circ\), то есть \(DA \perp a\). Получается, из точки \(D\) к прямой \(a\) проведены два разных перпендикуляра \(DA\) и \(DB\), а из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр. Противоречие.
Значит, все три отрезка равными быть не могут — хотя бы два из них различны.
Ответ
Если бы все три отрезка были равны, из D к прямой шли бы два перпендикуляра, а он единственный.
Подробнее — в теме «Перпендикуляр к прямой».