Отрезок AH, где H лежит на прямой a, называется перпендикуляром к прямой a, если…

Он короче всех других отрезков

Точка H — середина прямой a

Точка A лежит на прямой a

Какие утверждения верны?

Основание перпендикуляра лежит на прямой

Перпендикуляр из точки к прямой единственный

Два перпендикуляра к одной прямой могут пересекаться

Перпендикуляр к прямой можно провести только угольником, другого способа нет

Из точки A к прямой a провели перпендикуляр AH и отрезок AK. Каким может быть угол AKH?

Любым, кроме прямого

Перпендикуляр к прямой — 7 класс, геометрия: объяснение и примеры

Коротко о главном

Перпендикуляр из точки $$A$$ к прямой $$a$$ — это отрезок $$AH$$ , который соединяет $$A$$ с точкой $$H$$ прямой и образует с прямой прямой угол. Точка $$H$$ — основание перпендикуляра. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

AH \perp a,\quad \angle AHM = 90^\circ

Подробное объяснение

Представьте, что вы стоите в поле рядом с прямой дорогой и хотите выйти на неё кратчайшим путём. Вы идёте не наискосок, а «прямо к дороге» — так, чтобы ваш путь образовал с дорогой прямой угол. Такой путь в геометрии называется перпендикуляром.

Определение

Пусть дана прямая $$a$$ и точка $$A$$ , которая на ней не лежит. Соединим $$A$$ отрезком с точкой $$H$$ прямой $$a$$ . Отрезок $$AH$$ называется перпендикуляром, проведённым из точки $$A$$ к прямой $$a$$ , если прямые $$AH$$ и $$a$$ перпендикулярны. Точка $$H$$ называется основанием перпендикуляра.

Прямая a и точка A над ней. Отрезок AH падает на прямую под прямым углом — это перпендикуляр, H — его основание. Пунктирный отрезок AM к другой точке прямой — наклонная. — Из точки A к прямой a можно провести только один перпендикуляр AH; все остальные отрезки — наклонные.

Любой другой отрезок $$AM$$ , где $$M$$ — точка прямой $$a$$ , но не $$H$$ , перпендикуляром не будет. Его называют наклонной.

Теорема о перпендикуляре

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

В теореме два утверждения: перпендикуляр существует и он единственный.

Почему существует. Перегнём лист по прямой $$a$$ . Точка $$A$$ попадёт на другую сторону, в точку $$A_1$$ . Соединим $$A$$ и $$A_1$$ , отрезок пересечёт прямую в точке $$H$$ . При перегибе угол между $$HA$$ и прямой совпадёт с углом между $$HA_1$$ и прямой. Эти два угла смежные и равные, а равные смежные углы — прямые. Значит, $AH \perp a$ .

Почему только один. Допустим, из $$A$$ провели два перпендикуляра, $$AH$$ и $$AH_1$$ . Тогда две прямые, $$AH$$ и $$AH_1$$ , перпендикулярны прямой $$a$$ и при этом пересекаются в точке $$A$$ . Но две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются — это доказано раньше. Противоречие, значит, перпендикуляр один.

Как провести перпендикуляр на чертеже

Удобнее всего — чертёжным угольником. Приложите один катет (сторону прямого угла) к прямой так, чтобы второй катет проходил через точку $$A$$ . Проведите линию вдоль второго катета от точки до прямой. Точка, где линия упёрлась в прямую, — основание $$H$$ . Позже вы научитесь строить перпендикуляр циркулем и линейкой.

Как решать задачи

Найдите на чертеже перпендикуляры и отметьте у их оснований прямые углы — это главный «подарок» условия.
Если угол при основании разбит лучом на части, части в сумме дают $90^\circ$ .
Угол, смежный с прямым, тоже прямой.
Если нужно доказать равенство отрезков, ищите два треугольника с общим перпендикуляром: прямые углы при основании часто дают недостающий угол для первого признака равенства.

Разобранные примеры

База

Угол между перпендикуляром и лучом

Условие

Отрезок $$KP$$ — перпендикуляр к прямой $$m$$ , точка $$P$$ лежит на $$m$$ . Луч $$PS$$ проходит внутри угла $$KPT$$ , где $$T$$ — точка прямой $$m$$ , и $\angle KPS = 64^\circ$ . Найдите угол $$SPT$$ .

Дано

$KP \perp m$
луч $$PS$$ внутри $\angle KPT$
$\angle KPS = 64^\circ$

Найти

$\angle SPT$

Решение

Так как $KP \perp m$ , угол $$KPT$$ прямой. Луч $$PS$$ делит его на две части: $\angle SPT = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$ .

Ответ: ∠SPT = 26°

Средний

Две точки на прямой на равных расстояниях от основания

Условие

Отрезок $$BO$$ — перпендикуляр к прямой $$c$$ . На прямой $$c$$ по разные стороны от $$O$$ отметили точки $$E$$ и $$F$$ , причём $$OE = OF = 3$$ см, а $$BE = 5$$ см. Найдите $$BF$$ .

Дано

$BO \perp c$
$$OE = OF = 3$$ см
$$BE = 5$$ см

Найти

$$BF$$

Решение

В треугольниках $$BOE$$ и $$BOF$$ сторона $$BO$$ общая, $$OE = OF$$ , углы $$BOE$$ и $$BOF$$ прямые, так как $BO \perp c$ . Треугольники равны по первому признаку, поэтому $$BF = BE = 5$$ см.

Ответ: BF = 5 см

Типичные ошибки

Называют перпендикуляром любой отрезок от точки до прямой

Почему неверно

Отрезков из точки к прямой бесконечно много, а перпендикуляр среди них только один — тот, что образует с прямой прямой угол.

Как правильно

Перпендикуляр — только отрезок $$AH$$ , для которого $AH \perp a$ . Остальные отрезки — наклонные. На чертеже у основания перпендикуляра ставьте значок прямого угла.

Считают, что через точку можно провести два перпендикуляра «в разные стороны»

Почему неверно

Если бы из точки $$A$$ шли два перпендикуляра к прямой $$a$$ , две прямые, перпендикулярные $$a$$ , пересекались бы в точке $$A$$ . А такие прямые не пересекаются.

Как правильно

Из точки вне прямой — ровно один перпендикуляр. Если на чертеже «получилось два», один из углов только кажется прямым — проверьте его угольником.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Из точки $$A$$ провели перпендикуляр $$AH$$ к прямой $$a$$ . На прямой $$a$$ по разные стороны от $$H$$ отметили точки $$M$$ и $$N$$ . Найдите углы $$AHM$$ и $$AHN$$ .

Подсказка

Перпендикуляр образует с прямой прямые углы.

Решение

Так как $AH \perp a$ , угол $$AHM$$ прямой, $\angle AHM = 90^\circ$ . Угол $$AHN$$ смежный с ним, $\angle AHN = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ .

Ответ

∠AHM = ∠AHN = 90°

База Задача 2

Из точки $$A$$ провели перпендикуляр $$AH$$ к прямой $$a$$ и отрезок $$AK$$ к другой точке $$K$$ прямой $$a$$ . Может ли отрезок $$AK$$ тоже быть перпендикуляром к прямой $$a$$ ?

Подсказка

Сколько перпендикуляров можно провести из точки к прямой?

Решение

Нет. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Перпендикуляр $$AH$$ уже есть, поэтому $$AK$$ — не перпендикуляр, угол $$AKH$$ не прямой.

Ответ

Нет, перпендикуляр из точки к прямой только один

Средний Задача 3

Отрезок $$AH$$ — перпендикуляр к прямой $$BC$$ , точка $$H$$ лежит между $$B$$ и $$C$$ . Луч $$HD$$ проходит внутри угла $$AHC$$ , причём $\angle AHD$ в 3 раза больше $\angle DHC$ . Найдите $\angle DHC$ .

Подсказка

Два угла вместе составляют прямой угол.

Решение

Пусть $\angle DHC = x$ , тогда $\angle AHD = 3x$ . Вместе они дают $\angle AHC = 90^\circ$ , поэтому $4x = 90^\circ$ , $x = 22{,}5^\circ = 22^\circ 30'$ .

Ответ

∠DHC = 22°30′

Средний Задача 4

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от прямой $$a$$ . Перпендикуляры из $$A$$ и из $$B$$ к прямой $$a$$ имеют общее основание $$H$$ . Докажите, что точки $$A$$ , $$H$$ и $$B$$ лежат на одной прямой.

Подсказка

Отметьте на прямой $$a$$ точку $$M$$ и найдите сумму углов $$AHM$$ и $$MHB$$ .

Решение

Отметим на $$a$$ точку $$M$$ , отличную от $$H$$ . Так как $AH \perp a$ и $BH \perp a$ , то $\angle AHM = 90^\circ$ и $\angle MHB = 90^\circ$ . Точки $$A$$ и $$B$$ по разные стороны от $$a$$ , поэтому эти углы лежат по разные стороны от луча $$HM$$ и вместе дают $\angle AHB = 180^\circ$ . Угол $$AHB$$ развёрнутый, значит, лучи $$HA$$ и $$HB$$ дополнительные, и $$A$$ , $$H$$ , $$B$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано — угол AHB развёрнутый

Сложный Задача 5

Отрезок $$AH$$ — перпендикуляр к прямой $$a$$ . На прямой $$a$$ по разные стороны от $$H$$ отметили точки $$M$$ и $$N$$ так, что $$HM = HN$$ . Докажите, что $$AM = AN$$ .

Подсказка

Сравните треугольники $$AHM$$ и $$AHN$$ .

Решение

В треугольниках $$AHM$$ и $$AHN$$ сторона $$AH$$ общая, $$HM = HN$$ по условию, $\angle AHM = \angle AHN = 90^\circ$ , так как $AH \perp a$ . Треугольники равны по первому признаку, значит, $$AM = AN$$ .

Ответ

Утверждение доказано — AM = AN

Сложный Задача 6

В условиях предыдущей задачи ( $AH \perp a$ , $$HM = HN$$ , точки $$M$$ и $$N$$ по разные стороны от $$H$$ ) известно, что $\angle HAM = 28^\circ$ . Найдите угол $$MAN$$ .

Подсказка

Из равенства треугольников $$AHM$$ и $$AHN$$ найдите угол $$HAN$$ .

Решение

Треугольники $$AHM$$ и $$AHN$$ равны по первому признаку ( $$AH$$ — общая, $$HM = HN$$ , углы при $$H$$ прямые). Значит, $\angle HAN = \angle HAM = 28^\circ$ . Луч $$AH$$ проходит внутри угла $$MAN$$ , поэтому $\angle MAN = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ$ .

Ответ

∠MAN = 56°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол линейку — это прямая, а ластик рядом — точка. Попросите ребёнка «пройти» от ластика к линейке так, чтобы путь был под прямым углом: пусть проверит углом листа бумаги или угольником. Затем спросите, можно ли найти ещё один такой путь из того же места — и обсудите, почему нет. Сложите лист пополам по линии и проколите точку: так видно, как в доказательстве получается точка $$A_1$$ .

Вопросы для проверки понимания: 1) Что такое основание перпендикуляра? 2) Сколько перпендикуляров можно провести из точки к прямой и почему? 3) Чем перпендикуляр отличается от наклонной?

На что обратить внимание. Ребёнок должен различать «перпендикулярные прямые» (п. 12) и «перпендикуляр к прямой» — это отрезок с концом на прямой. И чертить перпендикуляры угольником, а не «на глаз».

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 16	105, 110