Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 184

Задача 1

Условие (кратко)

На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отмечены P и Q так, что ∠PXB = ∠QXC, где X — середина основания BC. Докажите, что BQ = CP (повышенной трудности).

Решение

Дано: $$AB = AC$$ , $$X$$ — середина $$BC$$ , $P \in AB$ , $Q \in AC$ , $\angle PXB = \angle QXC$ . Доказать: $$BQ = CP$$ .

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle PBX = \angle QCX$ .
В треугольниках $$PBX$$ и $$QCX$$ : $$BX = CX$$ , $\angle PBX = \angle QCX$ , $\angle PXB = \angle QXC$ . По второму признаку $\triangle PBX = \triangle QCX$ , поэтому $$BP = CQ$$ .
В треугольниках $$PBC$$ и $$QCB$$ : $$BP = CQ$$ , сторона $$BC$$ общая, $\angle PBC = \angle QCB$ . По первому признаку $\triangle PBC = \triangle QCB$ , значит, $$CP = BQ$$ .

Ответ

Утверждение доказано, BQ = CP

Почему так

Сначала по второму признаку BP = CQ, затем треугольники PBC и QCB равны по первому признаку.

Подробнее — в теме «Второй признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).