Задача 1
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.
Решение
Дано: отрезок \(PQ\) (радиус), точка \(A\), прямая \(a\). Построить: окружность радиуса \(PQ\) с центром на \(a\), проходящую через \(A\).
Анализ. Если \(O\) — центр искомой окружности, то \(OA = PQ\), то есть \(O\) лежит на окружности с центром \(A\) радиуса \(PQ\) и на прямой \(a\).
Построение.
-
Циркулем проводим окружность с центром \(A\) и радиусом \(PQ\).
-
Отмечаем её точки пересечения с прямой \(a\); пусть \(O\) — одна из них.
-
Проводим окружность с центром \(O\) и радиусом \(PQ\).
Доказательство. Центр \(O\) лежит на \(a\), радиус равен \(PQ\), и \(OA = PQ\), поэтому окружность проходит через \(A\).
Число решений: если окружность из шага 1 пересекает прямую \(a\) в двух точках — два решения, если имеет с ней одну общую точку — одно, если не имеет общих точек (точка \(A\) слишком далеко от прямой) — задача решений не имеет.
Ответ
Центр искомой окружности удалён от данной точки на радиус, поэтому лежит на окружности этого радиуса с центром в данной точке.
Подробнее — в теме «Окружность».