Какие утверждения верны для любой окружности?

Все радиусы окружности равны

Диаметр в 2 раза больше радиуса

Центр окружности — середина любого диаметра

Любая хорда проходит через центр

Чем круг отличается от окружности?

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с ней

Ничем, это одно и то же

Круг — это только центр и радиусы

Окружность — это закрашенная фигура

Окружность — 7 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Коротко о главном

Окружность — фигура из всех точек плоскости, которые находятся на одном и том же расстоянии от данной точки — центра. Это расстояние — радиус; диаметр — хорда через центр, он вдвое больше радиуса.

\[d = 2r\]

Подробное объяснение

Привяжите собаку к колышку на верёвке длиной 3 м и посмотрите, как она бегает по кругу, натянув поводок. Где бы она ни была, до колышка ровно 3 м. Все такие точки и образуют окружность. Так её и чертят на местности — верёвкой, а в тетради — циркулем: остриё в центре, грифель всегда на одном расстоянии.

Определение и центр

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка — центр окружности, обычно её называют $$O$$ .

Радиус

Радиус — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Из определения сразу следует главное свойство: все радиусы одной окружности равны. Словом «радиус» называют и сам отрезок, и его длину.

Хорда и диаметр

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорд у окружности бесконечно много, и длины у них разные.

Диаметр — хорда, проходящая через центр. Он состоит из двух радиусов, поэтому:

диаметр в 2 раза больше радиуса: $$d = 2r$$ ;
центр — середина любого диаметра;
все диаметры одной окружности равны.

Дуга

Две точки окружности делят её на две части — дуги. Чтобы было понятно, о какой дуге речь, на ней отмечают ещё одну точку: дуга $$ALB$$ , дуга $$AMB$$ .

Окружность и круг

Окружность — это только линия, «ободок». Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью: ободок вместе со всем, что внутри. Обруч — окружность, блин — круг.

Как решать задачи

Отметьте центр и проведите радиусы к точкам, которые упоминаются в задаче.
Запишите равенства радиусов: $OA = OB = OC = \ldots$ Это готовые равные стороны.
Ищите треугольники с вершиной в центре: у них две стороны — радиусы, значит, они равнобедренные.
Если есть диаметр, вспомните, что центр лежит на нём. Углы с вершиной в центре по разные стороны от диаметра — смежные, у двух диаметров — вертикальные.
Докажите равенство треугольников по одному из признаков и сделайте вывод о нужных сторонах или углах.

Разобранные примеры

База

Радиус по диаметру

Условие

Диаметр окружности равен 17 см. Найдите радиус.

Решение

Центр — середина диаметра, поэтому радиус равен половине диаметра: $$r = 17 : 2 = 8{,}5$$ см.

Ответ: 8,5 см

Средний

Углы при двух диаметрах

Условие

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры окружности с центром $$O$$ , $\angle BOC = 64^\circ$ . Найдите углы $$AOD$$ и $$AOC$$ .

Решение

Диаметры проходят через центр, поэтому $$AB$$ и $$CD$$ — две прямые, пересекающиеся в точке $$O$$ .

Углы $$AOD$$ и $$BOC$$ вертикальные: $\angle AOD = 64^\circ$ .

Углы $$AOC$$ и $$BOC$$ смежные: $\angle AOC = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ .

Ответ: ∠AOD = 64°, ∠AOC = 116°

Сложный

Равные хорды и центральные углы

Условие

Хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности с центром $$O$$ равны. Докажите, что $\angle AOB = \angle COD$ .

Решение

Дано: $$AB = CD$$ , $$O$$ — центр. Доказать: $\angle AOB = \angle COD$ .

$$OA = OB = OC = OD$$ — радиусы одной окружности.
В треугольниках $$AOB$$ и $$COD$$ : $$OA = OC$$ , $$OB = OD$$ , $$AB = CD$$ .
Значит, $\triangle AOB = \triangle COD$ по трём сторонам.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: $\angle AOB = \angle COD$ .

Ответ: Утверждение доказано: равные хорды видны из центра под равными углами.

Типичные ошибки

Называют диаметром любую хорду

Почему неверно

Хорда — любой отрезок между двумя точками окружности. Диаметром она становится, только если проходит через центр. У отрезка, не проходящего через центр, длина меньше диаметра.

Как правильно

Проверьте, лежит ли центр на отрезке. Если нет — это просто хорда, и её длина не равна $$2r$$ .

Путают радиус и диаметр в вычислениях

Почему неверно

В условии дан диаметр, а ученик подставляет его как радиус — ответ получается в 2 раза больше.

Как правильно

Прежде чем считать, подпишите на чертеже: $r = \ldots$ , $d = 2r = \ldots$ Сторона треугольника с вершиной в центре — это радиус, а не диаметр.

Не замечают равных радиусов

Почему неверно

Отрезки $$OA$$ и $$OB$$ кажутся «просто сторонами», и задача на равенство треугольников не решается — не хватает равных элементов.

Как правильно

Каждый отрезок от центра до точки окружности — радиус. Сразу пишите $$OA = OB$$ : это и есть недостающая пара равных сторон.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Радиус окружности равен 7 см. Найдите её диаметр.

Подсказка

Диаметр состоит из двух радиусов.

Решение

Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, $d = 2r = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ

14 см

База Задача 2

Диаметр окружности равен 9 см. Найдите её радиус.

Подсказка

Центр — середина диаметра.

Решение

Центр делит диаметр пополам, $$r = d : 2 = 9 : 2 = 4{,}5$$ см.

Ответ

4,5 см

Средний Задача 3

Радиус окружности с центром O равен 6 см, хорда AB равна 10 см. Найдите периметр треугольника AOB.

Подсказка

Две стороны треугольника — радиусы.

Решение

$$OA = OB = 6$$ см как радиусы, поэтому $$P = OA + OB + AB = 6 + 6 + 10 = 22$$ см.

Ответ

22 см

Средний Задача 4

Отрезки AB и CD — диаметры окружности с центром O, AB = 12 см, хорда AC = 7 см. Найдите периметр треугольника BOD.

Подсказка

Сравните треугольники AOC и BOD.

Решение

Радиус равен $$12 : 2 = 6$$ см. В треугольниках $$AOC$$ и $$BOD$$ : $$OA = OB$$ , $$OC = OD$$ (радиусы), $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные). Значит, $\triangle AOC = \triangle BOD$ по первому признаку, и $$BD = AC = 7$$ см.

$P_{BOD} = 6 + 6 + 7 = 19$ см.

Ответ

19 см

Сложный Задача 5

Отрезки AB и CD — диаметры окружности с центром O, причём ∠AOD в 3 раза больше ∠AOC. Найдите ∠BOD.

Подсказка

Углы AOC и AOD смежные, а угол BOD вертикален одному из них.

Решение

Точки $$C$$ , $$O$$ , $$D$$ лежат на одной прямой, поэтому углы $$AOC$$ и $$AOD$$ смежные: $\angle AOC + 3\angle AOC = 180^\circ$ , откуда $\angle AOC = 45^\circ$ .

Углы $$BOD$$ и $$AOC$$ вертикальные, поэтому $\angle BOD = 45^\circ$ .

Ответ

∠BOD = 45°

Сложный Задача 6

Две окружности одинакового радиуса с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Докажите, что ∠O₁AO₂ = ∠O₁BO₂.

Подсказка

Найдите в треугольниках O₁AO₂ и O₁BO₂ три пары равных сторон.

Решение

$$O_1A = O_1B$$ — радиусы первой окружности, $$O_2A = O_2B$$ — радиусы второй, $$O_1O_2$$ — общая сторона.

Значит, $\triangle O_1AO_2 = \triangle O_1BO_2$ по трём сторонам, и углы против общей стороны $$O_1O_2$$ равны: $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2$ .

Ответ

Утверждение доказано — треугольники O₁AO₂ и O₁BO₂ равны по трём сторонам

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите нитку, прижмите один конец пальцем к листу, а к другому привяжите карандаш и обведите. Палец — центр, натянутая нитка — радиус. Покажите, что нитка всё время одной длины, — отсюда «все радиусы равны». Затем проведите линию через центр от края до края — это диаметр, две нитки подряд.

Вопросы для проверки понимания: 1) Радиус равен 5 см — каков диаметр? 2) Любая ли хорда — диаметр? 3) Чем обруч отличается от блина с точки зрения геометрии?

На что обратить внимание. Ребёнок должен сам видеть радиусы в задачах на доказательство: именно они дают равные стороны треугольников. Следите, чтобы он не путал слова «окружность» (линия) и «круг» (часть плоскости).

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 21	148, 149, 150, 151, 152