Задача 1
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
Решение
Дано: отрезок \(PQ\) (радиус), точки \(A\) и \(B\). Построить: окружность радиуса \(PQ\), проходящую через \(A\) и \(B\).
Анализ. Центр \(O\) искомой окружности удалён на \(PQ\) и от \(A\), и от \(B\).
Построение.
-
Проводим окружность с центром \(A\) и радиусом \(PQ\).
-
Проводим окружность с центром \(B\) и тем же радиусом \(PQ\).
-
Отмечаем точку их пересечения \(O\) и проводим окружность с центром \(O\) радиуса \(PQ\).
Доказательство. \(O\) лежит на обеих окружностях, поэтому \(OA = PQ\) и \(OB = PQ\), и окружность с центром \(O\) радиуса \(PQ\) проходит через \(A\) и \(B\).
Число решений: окружности из шагов 1 и 2 могут пересекаться в двух точках (два решения, когда \(AB < 2PQ\)), касаться в одной точке (одно решение, когда \(AB = 2PQ\) — тогда \(AB\) — диаметр) или не иметь общих точек (решений нет, когда \(AB > 2PQ\)).
Ответ
Центр окружности равноудалён от всех её точек, поэтому он лежит на окружностях данного радиуса с центрами A и B.
Подробнее — в теме «Окружность».