Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 187

Задача 1

Условие (кратко)

Даны прямая a, точки A, B и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина C лежала на прямой a и AC = PQ.

Решение

Дано: прямая $$a$$ , точки $$A$$ , $$B$$ , отрезок $$PQ$$ . Построить: $\triangle ABC$ , где $C \in a$ , $$AC = PQ$$ .

Анализ. Точка $$C$$ удалена от $$A$$ на $$PQ$$ , значит, лежит на окружности с центром $$A$$ радиуса $$PQ$$ ; кроме того, она лежит на прямой $$a$$ .

Построение.

Проводим окружность с центром $$A$$ и радиусом $$PQ$$ .
Отмечаем точку $$C$$ пересечения этой окружности с прямой $$a$$ .
Проводим отрезки $$AB$$ , $$BC$$ , $$CA$$ .

Доказательство. $$C$$ лежит на прямой $$a$$ , и $$AC = PQ$$ как радиус окружности из шага 1.

Число решений: окружность может пересечь прямую $$a$$ в двух точках, в одной или ни в одной — решений 2, 1 или 0. Точку $$C$$ , попавшую на прямую $$AB$$ , отбрасываем: треугольника тогда не получится.

Ответ

Вершина C — точка пересечения прямой a с окружностью радиуса PQ с центром A; решений не больше двух

Почему так

Все точки на расстоянии PQ от A образуют окружность с центром A, поэтому C ищут как её пересечение с прямой a.

Подробнее — в теме «Построения циркулем и линейкой».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).