Какими инструментами выполняют классические построения в геометрии?

Циркулем и линейкой без делений

Линейкой с делениями и транспортиром

Только транспортиром

Чертёжным угольником и циркулем

Что можно построить циркулем и линейкой для любых данных?

Биссектрису любого угла

Середину любого отрезка

Деление любого угла на три равных угла

На каком признаке равенства треугольников основано обоснование построения биссектрисы угла?

На третьем (три стороны)

На первом (две стороны и угол)

На втором (сторона и два угла)

Построения циркулем и линейкой

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

С помощью только циркуля и линейки без делений можно отложить отрезок и угол, равные данным, построить биссектрису угла, перпендикуляр к прямой и середину отрезка. Каждое построение обосновывают: доказывают, что получилось нужное, обычно через равенство треугольников по трём сторонам.

Подробное объяснение

Как разделить доску ровно пополам, если рулетки нет, а есть только верёвка и прямая рейка? Древние греки решали такие задачи без всяких делений — и оказалось, что так можно построить очень многое.

Что разрешено

Линейкой — провести прямую через две точки или произвольную прямую. Делениями пользоваться нельзя.
Циркулем — провести окружность с данным центром и радиусом, равным данному отрезку.

Решение задачи на построение — это нумерованные шаги и доказательство, что фигура получилась нужная. Главный инструмент доказательства — радиусы: все радиусы одной окружности (и окружностей одинакового радиуса) равны.

Отложить отрезок, равный данному

Проводим окружность с центром в начале луча $$O$$ и радиусом, равным данному отрезку $$AB$$ .
Она пересекает луч в точке $$D$$ . Отрезок $$OD = AB$$ как радиус.

Отложить угол, равный данному

Дан угол $$A$$ и луч $$OM$$ .

Окружностью произвольного радиуса с центром $$A$$ отмечаем на сторонах угла точки $$B$$ и $$C$$ .
Окружностью того же радиуса с центром $$O$$ отмечаем на луче точку $$D$$ .
Окружностью с центром $$D$$ и радиусом $$BC$$ отмечаем на второй окружности точку $$E$$ .
Луч $$OE$$ — сторона искомого угла $$MOE$$ .

Почему: $$AB = OD$$ и $$AC = OE$$ — равные радиусы, $$BC = DE$$ по построению, значит, $\triangle ABC = \triangle ODE$ по трём сторонам, и $\angle DOE = \angle BAC$ .

Биссектриса угла

Окружностью с центром в вершине $$A$$ отмечаем на сторонах точки $$B$$ и $$C$$ .
Окружности радиуса $$BC$$ с центрами $$B$$ и $$C$$ пересекаются внутри угла в точке $$E$$ .
Луч $$AE$$ — биссектриса.

Почему: $$AB = AC$$ , $$BE = CE$$ , $$AE$$ — общая, поэтому $\triangle ABE = \triangle ACE$ по трём сторонам и $\angle BAE = \angle CAE$ .

Угол KAM. Дуга с центром A отмечает на сторонах точки B и C, дуги равного радиуса с центрами B и C пересекаются в точке E. Луч AE — биссектриса. — Треугольники ABE и ACE равны по трём сторонам, поэтому луч AE делит угол пополам.

Перпендикуляр через точку прямой

Дана прямая $$a$$ и точка $$M$$ на ней.

Откладываем на прямой от $$M$$ в разные стороны равные отрезки $$MA$$ и $$MB$$ .
Окружности радиуса $$AB$$ с центрами $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$P$$ .
Прямая $$MP$$ перпендикулярна $$a$$ .

Почему: $$PA = PB$$ , треугольник $$APB$$ равнобедренный, а $$PM$$ — его медиана. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой.

Если точка $$M$$ не лежит на прямой, окружность с центром $$M$$ отмечает на прямой точки $$A$$ и $$B$$ , окружности с центрами $$A$$ и $$B$$ через $$M$$ пересекаются ещё в точке $$N$$ , и $MN \perp a$ .

Середина отрезка

Окружности радиуса $$AB$$ с центрами $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точках $$P$$ и $$Q$$ .
Прямая $$PQ$$ пересекает $$AB$$ в точке $$O$$ — это середина.

Почему: $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по трём сторонам, значит, $$PO$$ — биссектриса равнобедренного треугольника $$APB$$ , а потому и медиана, и высота. Прямая $$PQ$$ — серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ .

Отрезок AB. Окружности радиуса AB с центрами A и B пересекаются в точках P и Q. Прямая PQ пересекает AB в точке O под прямым углом. — Прямая PQ — серединный перпендикуляр к отрезку AB, точка O — его середина.

Чего сделать нельзя

Разделить угол пополам легко. А вот разделить произвольный угол на три равные части циркулем и линейкой невозможно — это доказали только в XIX веке.

Как решать задачи

Начертите то, что дано, и прикиньте, как будет выглядеть ответ.
Сведите задачу к базовым построениям: отрезок, угол, биссектриса, перпендикуляр, середина.
Запишите шаги построения по номерам.
Докажите, что получилось нужное: найдите равные радиусы и докажите равенство треугольников.
Подумайте, всегда ли есть решение и сколько их.

Разобранные примеры

База

Отрезок на четыре равные части

Условие

Разделите отрезок $$AB$$ длиной 12 см на четыре равные части циркулем и линейкой. Какой длины каждая часть?

Решение

Строим середину $$O$$ отрезка $$AB$$ : окружности радиуса $$AB$$ с центрами $$A$$ и $$B$$ , прямая через точки их пересечения.
Тем же способом строим середины $$K$$ отрезка $$AO$$ и $$L$$ отрезка $$OB$$ .
Точки $$K$$ , $$O$$ , $$L$$ делят $$AB$$ на четыре равные части: $$AO = 12 : 2 = 6$$ см, $$AK = 6 : 2 = 3$$ см.

Ответ: 3 см

Средний

Угол 135° без транспортира

Условие

Постройте угол $135^\circ$ циркулем и линейкой.

Решение

Заметим, что $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$ , а $45^\circ$ — половина прямого угла.

Проводим прямую, отмечаем на ней точку $$O$$ и откладываем равные отрезки $$OA$$ и $$OB$$ по разные стороны от $$O$$ .
Окружности радиуса $$AB$$ с центрами $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$P$$ . Луч $$OP$$ перпендикулярен прямой: $$PO$$ — медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника $$APB$$ . Получили $\angle AOP = 90^\circ$ .
Строим биссектрису $$OK$$ угла $$AOP$$ : $\angle AOK = 90^\circ : 2 = 45^\circ$ .
Угол $$BOK$$ смежный с углом $$AOK$$ : $\angle BOK = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ .

Ответ: ∠BOK = 135°

Сложный

Равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне

Условие

Даны отрезки $$a$$ и $$b$$ , причём $$b$$ больше половины $$a$$ . Постройте равнобедренный треугольник с основанием $$a$$ и боковыми сторонами $$b$$ .

Решение

На луче откладываем отрезок $$AB = a$$ .
Окружности радиуса $$b$$ с центрами $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$C$$ (они пересекаются, потому что $$b$$ больше половины $$a$$ ).
Соединяем $$C$$ с $$A$$ и $$B$$ . $$CA = CB = b$$ как радиусы равных окружностей, $$AB = a$$ — треугольник искомый.

Заметим, что точка $$C$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$ — вершина равнобедренного треугольника всегда над серединой основания.

Ответ: Треугольник ABC построен: AB = a, CA = CB = b.

Типичные ошибки

Меняют раствор циркуля посреди построения

Почему неверно

В построении угла, равного данному, обе первые окружности должны быть одного радиуса. Если раствор сбился, $AB \neq OD$ , треугольники уже не равны, и угол получится другим.

Как правильно

Где в шаге сказано «того же радиуса», не трогайте циркуль, пока не проведёте обе окружности. Новый радиус берите, только когда шаг этого требует.

Пользуются делениями линейки или транспортиром

Почему неверно

Отмерить 3 см линейкой или 45° транспортиром — это измерение, а не построение. В задаче «с помощью циркуля и линейки» такое решение не засчитают.

Как правильно

Длины переносите циркулем, углы — построением угла, равного данному, середину и половину угла получайте построением середины и биссектрисы.

Строят, но не обосновывают

Почему неверно

Чертёж может выглядеть правильно случайно. Без доказательства задача на построение не решена.

Как правильно

После шагов напишите «Почему»: назовите равные радиусы, докажите равенство треугольников (чаще всего по трём сторонам) и сделайте вывод о нужном угле или отрезке.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Угол 70° разделили пополам биссектрисой, а затем одну из получившихся половин снова разделили пополам. Какой угол получился?

Подсказка

Каждая биссектриса делит угол на два равных.

Решение

После первой биссектрисы получаем $70^\circ : 2 = 35^\circ$ , после второй — $35^\circ : 2 = 17{,}5^\circ = 17^\circ 30'$ .

Ответ

17°30′

База Задача 2

Отрезок длиной 18 см разделили пополам построением середины, затем одну половину снова пополам и получившуюся часть ещё раз пополам. Какой длины самый маленький отрезок?

Подсказка

Каждый раз длина уменьшается вдвое.

Решение

$$18 : 2 = 9$$ см, $$9 : 2 = 4{,}5$$ см, $$4{,}5 : 2 = 2{,}25$$ см.

Ответ

2,25 см

Средний Задача 3

Даны отрезки a и b, причём a длиннее b. Постройте циркулем и линейкой отрезок, равный a − b.

Подсказка

Отложите оба отрезка от одной точки на одном луче.

Решение

Проводим луч с началом $$O$$ .
Окружностью с центром $$O$$ радиуса $$a$$ отмечаем на луче точку $$A$$ : $$OA = a$$ .
Окружностью с центром $$O$$ радиуса $$b$$ отмечаем на том же луче точку $$B$$ : $$OB = b$$ .
Так как $$b < a$$ , точка $$B$$ лежит между $$O$$ и $$A$$ , поэтому $$BA = OA - OB = a - b$$ .

Ответ

Отрезок BA = a − b построен

Средний Задача 4

Постройте циркулем и линейкой угол 67°30′.

Подсказка

67°30′ — половина угла 135°.

Решение

Строим угол $BOK = 135^\circ$ : прямой угол $$AOP$$ , его биссектриса $$OK$$ ( $\angle AOK = 45^\circ$ ) и смежный с ним угол $BOK = 180^\circ - 45^\circ$ .
Строим биссектрису $$OL$$ угла $$BOK$$ : $\angle BOL = 135^\circ : 2 = 67{,}5^\circ = 67^\circ 30'$ .

Ответ

∠BOL = 67°30′ — половина угла 135°

Сложный Задача 5

Даны отрезки a, b и c. Постройте треугольник со сторонами, равными этим отрезкам. Всегда ли это возможно?

Подсказка

Третья вершина удалена от концов первой стороны на b и на c — где лежат такие точки?

Решение

Проводим луч и откладываем на нём отрезок $$AB = a$$ .
Проводим окружность с центром $$A$$ радиуса $$b$$ и окружность с центром $$B$$ радиуса $$c$$ .
Если окружности пересекаются, отмечаем одну из точек пересечения — $$C$$ . Тогда $$AC = b$$ , $$BC = c$$ как радиусы, и треугольник $$ABC$$ искомый.

Если окружности не пересекаются (например, $$b$$ и $$c$$ вместе короче $$a$$ ), треугольник построить нельзя.

Ответ

Не всегда: треугольник получается, только если окружности с центрами A и B пересекаются

Сложный Задача 6

Даны угол и отрезок. Постройте равнобедренный треугольник, у которого угол между боковыми сторонами равен данному углу, а боковые стороны равны данному отрезку.

Подсказка

Сначала постройте угол, равный данному, затем отложите на его сторонах отрезки.

Решение

Проводим луч $$OM$$ и откладываем от него угол $$MON$$ , равный данному (окружности, третий признак равенства треугольников).
Окружностью с центром $$O$$ радиуса, равного данному отрезку, отмечаем точки $$A$$ на луче $$OM$$ и $$B$$ на луче $$ON$$ .
Соединяем $$A$$ и $$B$$ . В треугольнике $$OAB$$ : $$OA = OB$$ — радиусы, равные данному отрезку, $\angle AOB$ равен данному углу. Треугольник искомый.

Ответ

Треугольник OAB построен; OA = OB, угол O равен данному

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист, циркуль и линейку и вместе постройте середину отрезка: две окружности с центрами в концах, прямая через их точки пересечения. Перегните лист по этой прямой — концы отрезка совпадут. Потом сложите угол из бумаги пополам и сравните с построенной биссектрисой.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему в построении биссектрисы $$AB = AC$$ ? 2) Какой признак равенства треугольников чаще всего обосновывает построения? 3) Как получить угол 45°, не имея транспортира?

На что обратить внимание. Важно не только аккуратно чертить, но и уметь объяснить, почему построение верно. Попросите ребёнка проговорить шаги и назвать равные треугольники — это и есть решение задачи.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 22	153, 154, 155
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 23	156, 157, 158, 159, 160