Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 188

Задача 1

Условие (кратко)

Даны окружность, точки A, B и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина C лежала на данной окружности и AC = PQ.

Решение

Дано: окружность $\omega$ , точки $$A$$ , $$B$$ , отрезок $$PQ$$ . Построить: $\triangle ABC$ , где $C \in \omega$ , $$AC = PQ$$ .

Анализ. Точка $$C$$ лежит на окружности $\omega$ и на окружности с центром $$A$$ радиуса $$PQ$$ .

Построение.

Проводим окружность с центром $$A$$ и радиусом $$PQ$$ .
Отмечаем точку $$C$$ пересечения этой окружности с окружностью $\omega$ .
Проводим отрезки $$AB$$ , $$BC$$ , $$CA$$ .

Доказательство. $$C$$ лежит на данной окружности, и $$AC = PQ$$ как радиус окружности из шага 1.

Число решений: две окружности могут иметь две общие точки, одну или ни одной — решений 2, 1 или 0 (а если окружности совпадут, то есть $$A$$ — центр $\omega$ и $$PQ$$ равен её радиусу, подходит любая точка окружности). Точку $$C$$ на прямой $$AB$$ отбрасываем.

Ответ

Вершина C — точка пересечения данной окружности с окружностью радиуса PQ с центром A; обычно решений не больше двух

Почему так

Точки на расстоянии PQ от A образуют окружность, поэтому C — общая точка двух окружностей.

Подробнее — в теме «Построения циркулем и линейкой».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).