Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 189

Условие (кратко)

На стороне BC треугольника ABC постройте точку, равноудалённую от вершин A и C (в учебнике задача отмечена значком компьютера).

Решение

Дано: $\triangle ABC$ . Построить: точку $$M$$ на стороне $$BC$$ , для которой $$MA = MC$$ .

Анализ. По задаче 165 точки, равноудалённые от $$A$$ и $$C$$ , — это ровно точки прямой, проходящей через середину отрезка $$AC$$ перпендикулярно к нему. Значит, $$M$$ — точка пересечения этой прямой со стороной $$BC$$ .

Построение.

Проводим две окружности радиуса $$AC$$ с центрами $$A$$ и $$C$$ ; они пересекаются в точках $$P$$ и $$Q$$ по разные стороны от прямой $$AC$$ .
Проводим прямую $$PQ$$ . Как при построении середины отрезка, $$PQ$$ проходит через середину $$O$$ отрезка $$AC$$ и перпендикулярна к нему ( $$PA = PC$$ и $$QA = QC$$ , поэтому по задаче 165 обе точки лежат на этом перпендикуляре).
Отмечаем точку $$M$$ пересечения прямой $$PQ$$ со стороной $$BC$$ .

Доказательство. $$M$$ лежит на прямой, проходящей через середину $$AC$$ перпендикулярно к $$AC$$ , поэтому по задаче 165 $$MA = MC$$ ; и $$M$$ лежит на стороне $$BC$$ .

Замечание: если прямая $$PQ$$ не пересекает отрезок $$BC$$ (так бывает, когда угол $$C$$ больше угла $$A$$ ), на стороне $$BC$$ такой точки нет.

Ответ

Искомая точка — пересечение стороны BC с прямой, проходящей через середину AC перпендикулярно к AC

Почему так

Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на перпендикуляре к нему через его середину (задача 165).

Подробнее — в теме «Построения циркулем и линейкой».

Задание 189

Задача 1