Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе III, задание 218

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке четырёхугольник ABCD, точка E лежит на CD, точка F — на продолжении AD за D, отрезок BF проходит через E; CE = ED, BE = EF, K на AB и KE ∥ AF. Докажите, что KE ∥ BC.

Решение

Дано: $$E$$ — точка пересечения отрезков $$CD$$ и $$BF$$ , $$CE = ED$$ , $$BE = EF$$ , $$F$$ лежит на прямой $$AD$$ , $KE \parallel AF$ . Доказать: $KE \parallel BC$ .

Рассмотрим $\triangle BEC$ и $\triangle FED$ : $$CE = ED$$ , $$BE = EF$$ по условию, $\angle BEC = \angle FED$ как вертикальные. Значит, $\triangle BEC = \triangle FED$ по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников $\angle CBE = \angle DFE$ . Это накрест лежащие углы при прямых $$BC$$ и $$AF$$ и секущей $$BF$$ (точки $$C$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от $$BF$$ ). Накрест лежащие углы равны, поэтому $BC \parallel AF$ .
Прямые $$KE$$ и $$BC$$ параллельны одной и той же прямой $$AF$$ . Две прямые, параллельные третьей, параллельны, поэтому $KE \parallel BC$ .

Ответ

Утверждение доказано — KE ∥ BC, так как KE и BC параллельны прямой AF

Почему так

Равенство треугольников BEC и FED даёт равные накрест лежащие углы, значит BC ∥ AF, а две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Подробнее — в теме «Аксиома параллельных прямых».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).