Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Аксиомы — исходные утверждения геометрии, которые принимают без доказательства. Одна из самых известных — аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Подробное объяснение
Каждую теорему мы доказываем, опираясь на уже доказанные. Но с чего-то цепочку нужно начать. Так в споре: чтобы убедить собеседника, нужно найти то, с чем он уже согласен. В геометрии такие «согласованные заранее» утверждения называют аксиомами. Слово происходит от греческого «аксиос» — «ценный, достойный».
Какие аксиомы мы уже знаем
Некоторыми аксиомами мы пользовались с первых уроков, просто не называли их так:
- через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
- на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один — на этом основано сравнение отрезков наложением;
- от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
Такой способ строить науку — сначала аксиомы, потом теоремы, выведенные из них рассуждениями, — придумали в Древней Греции. Он изложен в «Началах» Евклида (III в. до н. э.), поэтому школьную геометрию называют евклидовой.
Существует ли параллельная прямая
Возьмём прямую \(a\) и точку \(M\) вне её. Проведём через \(M\) прямую \(c\), перпендикулярную \(a\), а затем через \(M\) прямую \(b\), перпендикулярную \(c\). Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, поэтому \(b \parallel a\). Значит, параллельная прямая через \(M\) всегда есть — это мы доказали.
Единственна ли она
Кажется, что если чуть повернуть \(b\) вокруг \(M\), она где-то далеко пересечёт \(a\). Но доказать это из остальных аксиом не получается. Математики пытались больше двух тысяч лет, и лишь в XIX веке выяснилось: единственность параллельной прямой доказать нельзя, её нужно принять как аксиому. Огромную роль в этом сыграл русский математик Николай Иванович Лобачевский.
Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия
Следствие — утверждение, которое выводится прямо из аксиомы или теоремы. Из аксиомы параллельных прямых следуют два важных факта.
- Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Пусть \(a \parallel b\) и прямая \(c\) пересекает \(a\) в точке \(M\). Если бы \(c\) не пересекала \(b\), то через \(M\) проходили бы две прямые, \(a\) и \(c\), параллельные \(b\), — а это противоречит аксиоме.
- Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Пусть \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\). Если бы \(a\) и \(b\) пересекались в точке \(M\), через \(M\) проходили бы две прямые, параллельные \(c\), — снова противоречие.
Оба доказательства построены одинаково: предполагаем обратное и приходим к противоречию с аксиомой. Такой способ называют доказательством от противного.
Как решать задачи
- Выпишите, какие прямые параллельны по условию.
- Если в вопросе «сколько параллельных прямых через точку» — точка не должна лежать на прямой; тогда ответ по аксиоме — одна.
- Если прямая пересекает одну из параллельных — сразу пишите, что она пересекает и другую (следствие 1).
- Если две прямые параллельны одной и той же третьей — они параллельны между собой (следствие 2).
- Если прямого пути нет, рассуждайте от противного: предположите обратное и найдите точку, через которую проходят две параллельные одной прямой.
Разобранные примеры
Три точки на одной прямой
Точка \(A\) не лежит на прямой \(m\). Прямые \(AB\) и \(AC\) обе параллельны \(m\). Что можно сказать о точках \(A\), \(B\) и \(C\)?
Через точку \(A\) проходит только одна прямая, параллельная \(m\). Значит, прямые \(AB\) и \(AC\) совпадают, и точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой.
Пересечёт ли прямая
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны прямой \(c\). Прямая \(d\) пересекает прямую \(b\) в точке \(K\). Пересекает ли \(d\) прямую \(a\)?
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны третьей прямой \(c\), поэтому \(a \parallel b\). Прямая \(d\) пересекает \(b\) — одну из двух параллельных прямых, значит, пересекает и другую, \(a\).
Две параллельные к одной
Прямая \(p\) параллельна прямой \(q\). Прямая \(r\) проходит через точку \(A\) прямой \(q\) и параллельна \(p\). Докажите, что \(r\) совпадает с \(q\).
Дано: \(p \parallel q\), \(A \in q\), \(A \in r\), \(r \parallel p\). Доказать: \(r\) и \(q\) совпадают.
Точка \(A\) не лежит на \(p\), ведь \(q\) и \(p\) не имеют общих точек. Через \(A\) проходят две прямые, \(q\) и \(r\), и обе параллельны \(p\). По аксиоме параллельных прямых такая прямая только одна, поэтому \(r\) и \(q\) совпадают.
Типичные ошибки
То, что через точку вне прямой можно провести параллельную прямую, доказывается: проводим перпендикуляр к прямой, а к нему ещё один перпендикуляр. Аксиома говорит о другом — что такая прямая только одна.
Существование параллельной — теорема (через два перпендикуляра), единственность — аксиома.
Если точка лежит на прямой \(a\), то через неё не проходит ни одной прямой, параллельной \(a\): сама \(a\) себе не параллельна, а остальные прямые через эту точку пересекают \(a\).
Аксиому применяют только к точке вне прямой. В задаче сначала убедитесь, что точка не лежит на данной прямой.
На чертеже две прямые могут не пересекаться в пределах листа и всё же пересекаться за его краем. Рисунок подсказывает идею, но не доказывает.
Ссылайтесь на аксиому, следствия или признаки параллельности: «\(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), значит, \(a \parallel b\)».
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Что называют аксиомой?
Показать ответ
Ответ: Б) Исходное утверждение, которое принимают без доказательства
Аксиомы — исходные положения, на которых строится вся геометрия; их принимают без доказательства.
-
Сколько прямых, параллельных прямой \(a\), можно провести через точку, не лежащую на \(a\)?
Показать ответ
Ответ: 1
По аксиоме параллельных прямых — только одну.
-
Какие утверждения курса геометрии являются аксиомами?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна; В) Через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной; Г) На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один
Равенство вертикальных углов — теорема, её доказывают. Остальные три утверждения приняты как аксиомы.
-
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны прямой \(c\). Как расположены прямые \(a\) и \(b\)?
Показать ответ
Ответ: В) Параллельны
Две прямые, параллельные третьей, параллельны — это второе следствие из аксиомы параллельных прямых.
-
Какой учёный сыграл огромную роль в выяснении, что пятый постулат Евклида нельзя доказать из других аксиом?
Показать ответ
Ответ: Б) Н. И. Лобачевский
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) показал, что единственность параллельной прямой нельзя вывести из остальных аксиом.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Через точку \(K\), не лежащую на прямой \(m\), провели прямые \(k\) и \(n\), и каждая из них параллельна \(m\). Что можно сказать о прямых \(k\) и \(n\)?
Подсказка
Сколько прямых, параллельных \(m\), может проходить через точку \(K\)?
Решение
По аксиоме параллельных прямых через точку \(K\) проходит только одна прямая, параллельная \(m\). Значит, \(k\) и \(n\) — одна и та же прямая.
Ответ
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны, прямая \(c\) пересекает прямую \(a\) в точке \(M\). Пересекает ли прямая \(c\) прямую \(b\)?
Подсказка
Вспомните первое следствие из аксиомы параллельных прямых.
Решение
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Значит, \(c\) пересекает \(b\).
Ответ
Через точку, не лежащую на прямой \(p\), провели 5 различных прямых. Какое наименьшее число из них может пересекать прямую \(p\)?
Подсказка
Сколько из этих прямых могут быть параллельны \(p\)?
Решение
Через данную точку проходит только одна прямая, параллельная \(p\). Значит, не пересекать \(p\) может не больше одной из пяти прямых, а пересекают её не меньше \(5 - 1 = 4\) прямых. Четыре получится, если одна из прямых параллельна \(p\).
Ответ
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны прямой \(c\). Прямая \(d\) пересекает прямую \(a\). Докажите, что \(d\) пересекает и прямую \(b\).
Подсказка
Сначала выясните, как расположены прямые \(a\) и \(b\).
Решение
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны третьей прямой \(c\), поэтому \(a \parallel b\) (второе следствие из аксиомы). Прямая \(d\) пересекает одну из двух параллельных прямых — \(a\), значит, она пересекает и другую — \(b\) (первое следствие).
Ответ
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны, точка \(M\) не лежит ни на одной из них. Сколько прямых, проходящих через \(M\), не пересекают ни \(a\), ни \(b\)?
Подсказка
Прямая через \(M\), не пересекающая \(a\), параллельна \(a\). Сколько таких прямых? Что можно сказать о её положении относительно \(b\)?
Решение
Прямая, проходящая через \(M\) и не пересекающая \(a\), параллельна \(a\); по аксиоме такая прямая одна, обозначим её \(m\). Прямые \(m\) и \(b\) обе параллельны \(a\), поэтому \(m \parallel b\) — она не пересекает и \(b\). Любая другая прямая через \(M\) пересекает \(a\). Итак, подходит ровно одна прямая.
Ответ
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что не существует прямой, параллельной и \(a\), и \(b\).
Подсказка
Рассуждайте от противного и используйте второе следствие из аксиомы.
Решение
Допустим, что есть прямая \(c\), для которой \(c \parallel a\) и \(c \parallel b\). Тогда прямые \(a\) и \(b\) параллельны третьей прямой \(c\), а значит, параллельны между собой. Но \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\) — противоречие. Значит, такой прямой \(c\) нет.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Положите на стол длинную линейку и отметьте карандашом точку в стороне от неё. Попросите ребёнка приложить через точку вторую линейку так, чтобы она не «сходилась» с первой. Поворачивайте вторую линейку чуть-чуть — продолжения когда-нибудь встретятся. Подходит только одно положение — это и есть аксиома параллельных прямых. Объясните, что это правило принимают без доказательства, как правило игры.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем аксиома отличается от теоремы? 2) Сколько прямых, параллельных данной, проходит через точку вне её? 3) Прямые \(a\) и \(b\) параллельны прямой \(c\) — как расположены \(a\) и \(b\)?
На что обратить внимание. Ребёнок должен уметь рассуждать от противного: «предположим обратное — получим две параллельные через одну точку — так не бывает». Этот приём понадобится в следующих темах.