Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе III, задание 219

Задача 1

Условие (кратко)

Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC перпендикулярно AD, пересекает сторону AC в точке M. Докажите, что MD ∥ AB.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AD$$ — биссектриса, $$O$$ — середина $$AD$$ , прямая $OM \perp AD$ , точка $$M$$ лежит на $$AC$$ . Доказать: $MD \parallel AB$ .

Рассмотрим $\triangle AOM$ и $\triangle DOM$ : $$AO = OD$$ ( $$O$$ — середина $$AD$$ ), $$OM$$ — общая сторона, $\angle AOM = \angle DOM = 90^\circ$ . Значит, $\triangle AOM = \triangle DOM$ по первому признаку, и $\angle MAD = \angle MDA$ .
$$AD$$ — биссектриса угла $$A$$ , поэтому $\angle MAD = \angle CAD = \angle BAD$ .
Из пунктов 1 и 2: $\angle MDA = \angle BAD$ . Это накрест лежащие углы при прямых $$MD$$ и $$AB$$ и секущей $$AD$$ : точки $$M$$ (на стороне $$AC$$ ) и $$B$$ лежат по разные стороны от прямой $$AD$$ .
Накрест лежащие углы равны, значит, $MD \parallel AB$ .

Ответ

Утверждение доказано — накрест лежащие углы MDA и BAD равны, поэтому MD ∥ AB

Почему так

Перпендикуляр через середину AD даёт равнобедренный треугольник AMD, и угол MDA оказывается равен углу BAD — накрест лежащие углы равны.

Подробнее — в теме «Признаки параллельности двух прямых».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).