При пересечении прямых a и b секущей выполнено одно из условий. В каких случаях можно утверждать, что a \parallel b?

Односторонние углы равны

Какие две прямые называются параллельными?

Две прямые на плоскости, которые не пересекаются

Две прямые, которые не пересекаются на чертеже

Две прямые, перпендикулярные друг другу

Две прямые, у которых одна общая точка

Какие утверждения верны?

Два отрезка параллельны, если они лежат на параллельных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны

Чертёжный треугольник и линейка позволяют построить параллельную прямую, потому что получаются равные соответственные углы

Если вертикальные углы равны, то прямые параллельны

Признаки параллельности двух прямых

Коротко о главном

Две прямые на плоскости параллельны, если они не пересекаются: $a \parallel b$ . Проверить это помогает секущая. Если накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна $180^\circ$ , то прямые параллельны.

\angle 3 = \angle 5 \ \text{или} \ \angle 1 = \angle 5 \ \text{или} \ \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ \ \Rightarrow\ a \parallel b

Подробное объяснение

Рельсы, края тетрадного листа, полоски на «зебре» — всё это отрезки параллельных прямых. Но прямые бесконечны. То, что две линии не встретились на листе, ещё не значит, что они не встретятся где-то далеко. Нужен способ доказать параллельность, не уходя в бесконечность. Такие способы и называются признаками.

Параллельные прямые

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначение: $a \parallel b$ . Один пример мы уже знаем: две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, то есть параллельны.

Отрезки называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Так же говорят о параллельности отрезка и прямой, луча и прямой, двух лучей.

Секущая и восемь углов

Прямая $$c$$ называется секущей для прямых $$a$$ и $$b$$ , если пересекает их в двух точках. Возле каждой точки пересечения получается по четыре угла, всего восемь.

Прямые a и b пересечены секущей c, образуются восемь углов с номерами 1–8. Углы 3 и 5 между прямыми по разные стороны от секущей отмечены дугами как накрест лежащие. — Накрест лежащие: 3 и 5, 4 и 6. Односторонние: 4 и 5, 3 и 6. Соответственные: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8.

У некоторых пар есть названия:

накрест лежащие — между прямыми $$a$$ и $$b$$ , по разные стороны от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние — между прямыми, по одну сторону от секущей: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные — занимают «одинаковое место» у своей точки пересечения: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8. Если сдвинуть прямую $$a$$ вдоль секущей до прямой $$b$$ , угол 1 ляжет на угол 5.

Три признака

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если сумма односторонних углов равна $180^\circ$ , то прямые параллельны.

Почему это верно

Первый признак. Пусть секущая $$AB$$ пересекает $$a$$ в точке $$A$$ , $$b$$ в точке $$B$$ , и накрест лежащие углы при $$A$$ и $$B$$ равны. Если они прямые, то $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны $$AB$$ и потому параллельны. Если нет, возьмём середину $$O$$ отрезка $$AB$$ и опустим перпендикуляр $$OH$$ на прямую $$a$$ . На прямой $$b$$ отложим $$BH_1 = AH$$ по другую сторону от секущей. Треугольники $$OHA$$ и $$OH_1B$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $\angle HOA = \angle H_1OB$ , поэтому точки $$H$$ , $$O$$ , $$H_1$$ лежат на одной прямой. А ещё $\angle OH_1B = \angle OHA = 90^\circ$ . Значит, $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны прямой $$HH_1$$ и параллельны.

Второй и третий признаки сводятся к первому. Если $\angle 1 = \angle 5$ , то и $\angle 3 = \angle 5$ , ведь $\angle 3 = \angle 1$ как вертикальные. Если $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$ , то $\angle 3 = \angle 5$ , потому что $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$ (смежные).

Как построить параллельную прямую

Чтобы провести через точку $$M$$ прямую, параллельную прямой $$a$$ , приложите чертёжный треугольник одной стороной к $$a$$ , а к другой его стороне — линейку. Держа линейку, двигайте треугольник вдоль неё, пока его сторона не пройдёт через $$M$$ , и проведите прямую. Получатся равные соответственные углы, значит, прямые параллельны. Чертёжники делают то же рейсшиной, столяры — малкой.

Как решать задачи

Найдите две прямые, о которых спрашивают, и секущую, которая их пересекает.
Определите, как расположены нужные углы: накрест лежащие, соответственные или односторонние.
Докажите равенство углов (или сумму $180^\circ$ ). Чаще всего помогают вертикальные и смежные углы, равные треугольники, углы при основании равнобедренного треугольника, биссектриса.
Назовите признак и сделайте вывод: $a \parallel b$ .

Разобранные примеры

База

Соответственные углы

Условие

На схеме из объяснения $\angle 1 = 58^\circ$ и $\angle 5 = 58^\circ$ . Докажите, что $a \parallel b$ .

Решение

Дано: $\angle 1 = \angle 5 = 58^\circ$ . Доказать: $a \parallel b$ .

Углы 1 и 5 — соответственные: оба лежат выше своей прямой и левее секущей. Они равны, значит, по второму признаку $a \parallel b$ .

Ответ: Прямые a и b параллельны

Средний

Через смежный угол

Условие

На той же схеме $\angle 2 = 130^\circ$ , $\angle 5 = 50^\circ$ . Докажите, что $a \parallel b$ .

Решение

Дано: $\angle 2 = 130^\circ$ , $\angle 5 = 50^\circ$ . Доказать: $a \parallel b$ .

Углы 2 и 3 смежные, поэтому $\angle 3 = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ . Углы 3 и 5 — накрест лежащие, и они равны: $\angle 3 = \angle 5 = 50^\circ$ . По первому признаку $a \parallel b$ .

Ответ: Прямые a и b параллельны

Сложный

Параллельность через равные треугольники

Условие

В четырёхугольнике $$ABCD$$ $$AB = CD$$ и $$BC = DA$$ . Точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$ . Докажите, что $AB \parallel CD$ .

Решение

Дано: $$AB = CD$$ , $$BC = DA$$ . Доказать: $AB \parallel CD$ .

В треугольниках $$ABC$$ и $$CDA$$ $$AB = CD$$ , $$BC = DA$$ , сторона $$AC$$ общая. По третьему признаку $\triangle ABC = \triangle CDA$ , значит, $\angle BAC = \angle DCA$ . Для прямых $$AB$$ и $$CD$$ прямая $$AC$$ — секущая, а углы $$BAC$$ и $$DCA$$ лежат по разные стороны от неё, то есть накрест лежащие. Они равны, поэтому $AB \parallel CD$ .

Ответ: Утверждение доказано: AB ∥ CD

Типичные ошибки

Путают накрест лежащие и соответственные углы

Почему неверно

Если назвать соответственными углы 3 и 5, признак применён к неправильной паре, и доказательство не засчитают. Иногда такая путаница приводит и к неверному выводу.

Как правильно

Проверяйте два вопроса. Лежат ли оба угла между прямыми? По одну или по разные стороны от секущей? Между прямыми и по разные стороны — накрест лежащие. Между прямыми и по одну сторону — односторонние. Соответственные: один угол между прямыми, другой снаружи, оба по одну сторону от секущей.

Требуют, чтобы односторонние углы были равны

Почему неверно

Для односторонних углов признак другой: их сумма должна быть $180^\circ$ . Углы $70^\circ$ и $70^\circ$ в односторонней паре означают, что прямые пересекаются.

Как правильно

Равными должны быть накрест лежащие или соответственные углы. Для односторонних проверяйте сумму: $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$ .

Берут углы не при той секущей

Почему неверно

В задаче с треугольниками прямых много. Пара углов может быть накрест лежащей для одних прямых и секущей, но ничего не говорить о других. А углы при одной точке пересечения, например вертикальные, равны всегда и о параллельности не говорят вообще.

Как правильно

Сначала назовите две прямые, параллельность которых доказываете, затем секущую. Стороны нужных углов должны лежать на этих прямых и на секущей, а вершины — в двух разных точках секущей.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

При пересечении прямых $$m$$ и $$n$$ секущей $$k$$ два односторонних угла равны $118^\circ$ и $62^\circ$ . Параллельны ли прямые $$m$$ и $$n$$ ?

Подсказка

Сложите односторонние углы.

Решение

$118^\circ + 62^\circ = 180^\circ$ . Сумма односторонних углов равна $180^\circ$ , значит, по третьему признаку $m \parallel n$ .

Ответ

Да, параллельны

База Задача 2

Прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен $47^\circ$ . Каким должен быть второй накрест лежащий угол, чтобы по признаку можно было утверждать, что $a \parallel b$ ?

Подсказка

Первый признак говорит о равенстве накрест лежащих углов.

Решение

По первому признаку прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны. Значит, второй угол должен быть равен $47^\circ$ .

Ответ

47°

Средний Задача 3

Прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей. Накрест лежащие углы равны $(2x + 10)^\circ$ и $(3x - 20)^\circ$ . При каком $$x$$ прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны по первому признаку? Чему тогда равны эти углы?

Подсказка

Приравняйте углы и решите уравнение.

Решение

Нужно, чтобы углы были равны, $$2x + 10 = 3x - 20$$ . Отсюда $$x = 30$$ , а каждый угол равен $2 \cdot 30 + 10 = 70^\circ$ .

Ответ

x = 30, оба угла по 70°

Средний Задача 4

Секущая пересекает прямые $$a$$ и $$b$$ . Один из углов при прямой $$a$$ равен $75^\circ$ , один из углов при прямой $$b$$ равен $105^\circ$ . Можно ли утверждать, что $a \parallel b$ ?

Подсказка

Важно не только, какие числа, но и как расположены углы.

Решение

Нельзя. Если эти углы односторонние, их сумма $180^\circ$ и прямые параллельны. Но если это, например, соответственные углы, то они не равны ( $75^\circ \ne 105^\circ$ ), и признак не выполняется: прямые пересекаются. Без расположения углов вывод сделать нельзя.

Ответ

Нет, нужно знать, как расположены углы

Сложный Задача 5

В треугольнике $$ABC$$ $\angle B = 64^\circ$ . Через вершину $$C$$ проводят прямую $$CE$$ . Каким должен быть угол $$BCE$$ , чтобы $CE \parallel AB$ , если а) точки $$E$$ и $$A$$ лежат по разные стороны от прямой $$BC$$ ; б) по одну сторону?

Подсказка

Прямая $$BC$$ — секущая для $$AB$$ и $$CE$$ . Какой парой углов будут $\angle ABC$ и $\angle BCE$ в каждом случае?

Решение

а) Если $$E$$ и $$A$$ по разные стороны от $$BC$$ , то $\angle ABC$ и $\angle BCE$ — накрест лежащие. По первому признаку нужно $\angle BCE = 64^\circ$ . б) Если по одну сторону, то это односторонние углы, и нужно $\angle BCE = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ .

Ответ

а) 64°; б) 116°

Сложный Задача 6

В треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$AM$$ . На её продолжении за точку $$M$$ отложен отрезок $$MD = AM$$ . Докажите, что $AC \parallel BD$ .

Подсказка

Сравните треугольники $$AMC$$ и $$DMB$$ .

Решение

$$M$$ — середина $$BC$$ , поэтому $$CM = BM$$ ; $$AM = DM$$ по построению; $\angle AMC = \angle DMB$ как вертикальные. По первому признаку равенства $\triangle AMC = \triangle DMB$ , значит, $\angle MAC = \angle MDB$ . Это накрест лежащие углы при прямых $$AC$$ и $$BD$$ и секущей $$AD$$ (точки $$C$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от $$AD$$ ). По признаку $AC \parallel BD$ .

Ответ

Утверждение доказано

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в линейку и проведите наискосок прямую через две строки — это секущая. Пронумеруйте восемь углов и раскрасьте пары: накрест лежащие одним цветом, соответственные другим. Потом приложите к линейке угольник, сдвиньте его вдоль линейки и проведите две прямые по одной его стороне. Спросите, почему они параллельны: углы между линейкой и прямыми одинаковые, это соответственные углы.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему нельзя доказать параллельность, просто «продлив прямые подальше»? 2) Один из односторонних углов $100^\circ$ . Каким должен быть второй, чтобы прямые были параллельны? 3) Чем накрест лежащие углы отличаются от односторонних?

На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно называть пары углов на любом чертеже, даже повёрнутом, и помнить, что у односторонних углов важна сумма $180^\circ$ , а не равенство. Обратное утверждение («если прямые параллельны, то углы равны») пока не доказано, его проходят позже. Использовать его в доказательствах этого урока нельзя.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 24	—
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 25	191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 26	199, 200