Задача 1
На рисунке прямые AE и DF пересечены секущей через A под углами 78° (при A) и 102° (при второй прямой, односторонние); ∠ADX = 48°, где X на продолжении FD за D; DE — биссектриса угла ADF. Найдите углы треугольника ADE.
Решение
- прямая \(AE\)
- прямая \(DF\)
- секущая через точку \(A\) образует с ними углы \(78^\circ\) и \(102^\circ\) (по рисунку — односторонние); угол между лучом \(DA\) и продолжением \(FD\) за точку \(D\) равен \(48^\circ\); \(DE\) — биссектриса \(\angle ADF\)
- углы \(\triangle ADE\)
-
\(78^\circ + 102^\circ = 180^\circ\) — сумма односторонних углов равна \(180^\circ\), значит, \(AE \parallel DF\).
-
\(\angle ADF\) смежен с углом \(48^\circ\): \(\angle ADF = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ\). Биссектриса делит его пополам: \(\angle ADE = \angle EDF = 66^\circ\).
-
\(\angle DAE\) и угол \(48^\circ\) — накрест лежащие при параллельных \(AE\), \(DF\) и секущей \(AD\), поэтому \(\angle DAE = 48^\circ\).
-
\(\angle AED\) и \(\angle EDF\) — накрест лежащие при тех же параллельных и секущей \(DE\), поэтому \(\angle AED = 66^\circ\).
Ответ
Сумма односторонних углов 180° даёт AE ∥ DF, после чего углы треугольника находятся как накрест лежащие и как половина угла ADF.
Подробнее — в теме «Углы при параллельных прямых и секущей».