Какая теорема обратна теореме «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны»?

Если прямые параллельны, то при пересечении их секущей накрест лежащие углы равны

Если накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны

Если прямые пересекаются, то вертикальные углы равны

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны

Прямые a и b параллельны, прямая c перпендикулярна прямой a. Как расположены прямые c и b?

Пересекаются под углом 45°

Верно ли, что если углы равны, то они вертикальные?

Нет, обратное утверждение здесь неверно

Да, это обратная теорема к теореме о вертикальных углах

Да, но только для острых углов

Да, если углы имеют общую вершину

Углы при параллельных прямых и секущей

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Аксиома параллельных прямых

Коротко о главном

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^\circ$ . Это теоремы, обратные признакам параллельности.

a \parallel b \;\Rightarrow\; \angle 1 = \angle 2 \text{ (накрест лежащие)}

Подробное объяснение

Представьте рельсы и шпалу, положенную наискосок. Если рельсы параллельны, то углы, под которыми шпала пересекает левый и правый рельс, одинаковы. Это наблюдение и выражают свойства параллельных прямых.

Условие, заключение и обратная теорема

В каждой теореме две части: условие (что дано) и заключение (что нужно доказать). Признак параллельности звучит так: «если накрест лежащие углы равны (условие), то прямые параллельны (заключение)». Если поменять части местами, получится обратная теорема: «если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны».

Обратная теорема не обязательно верна — её надо доказывать отдельно. Пример: «вертикальные углы равны» — верно, а «равные углы — вертикальные» — неверно.

Три свойства параллельных прямых

Параллельные прямые a и b пересечены секущей c, образуются восемь углов, пронумерованных от 1 до 8. Четыре острых угла отмечены зелёным, четыре тупых — оранжевым. — При параллельных прямых все острые углы равны, все тупые равны, а острый и тупой в сумме дают 180°.

1. Накрест лежащие углы равны. Доказательство от противного. Пусть $a \parallel b$ , секущая $$MN$$ , и накрест лежащие углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча $$MN$$ угол $$PMN$$ , равный углу 2, так, чтобы он и угол 2 были накрест лежащими. По признаку $MP \parallel b$ . Тогда через точку $$M$$ проходят две прямые, $$a$$ и $$MP$$ , параллельные $$b$$ , — это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, $\angle 1 = \angle 2$ .

2. Соответственные углы равны. Соответственный угол равен вертикальному с ним углу, а тот — накрест лежащий с данным. На рисунке: $\angle 2 = \angle 4$ (вертикальные) и $\angle 4 = \angle 6$ (накрест лежащие), поэтому $\angle 2 = \angle 6$ .

3. Сумма односторонних углов равна 180°. Например, $\angle 4 = \angle 6$ , а углы 6 и 5 смежные, поэтому $\angle 4 + \angle 5 = \angle 6 + \angle 5 = 180^\circ$ .

Следствие. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой: она пересекает вторую прямую, а накрест лежащий угол тоже равен $90^\circ$ .

Главный вывод

При пересечении двух параллельных прямых секущей получается восемь углов, но различных величин среди них всего две: четыре равных острых и четыре равных тупых угла, и острый с тупым в сумме дают $180^\circ$ . Если секущая перпендикулярна прямым, все восемь углов прямые.

Признак или свойство?

Признак: знаем про углы → делаем вывод, что прямые параллельны.
Свойство: знаем, что прямые параллельны → делаем вывод про углы.

Как решать задачи

Найдите на чертеже параллельные прямые и секущую, которая их пересекает.
Определите, какой парой являются нужные углы: накрест лежащие, соответственные или односторонние.
Для накрест лежащих и соответственных запишите равенство, для односторонних — сумму $180^\circ$ .
Если углы связаны отношением или разностью, обозначьте один через $$x$$ и составьте уравнение.
Если на чертеже «ломаная» между параллельными прямыми, проведите через её вершину ещё одну параллельную прямую.

Разобранные примеры

База

Все восемь углов

Условие

Параллельные прямые пересечены секущей, один из углов равен $64^\circ$ . Найдите остальные углы.

Решение

Острые углы, которые образуются при пересечении, равны между собой, тупые тоже. Угол, смежный с углом $64^\circ$ , равен $180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ . Значит, четыре угла по $64^\circ$ и четыре угла по $116^\circ$ .

Ответ: Четыре угла по 64° и четыре угла по 116°

Средний

Односторонние углы в отношении

Условие

Односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей относятся как $$2 : 7$$ . Найдите их.

Дано

$a \parallel b$
односторонние углы относятся как $$2 : 7$$

Найти

эти углы

Решение

Пусть углы равны $$2x$$ и $$7x$$ . Их сумма $180^\circ$ , поэтому $9x = 180^\circ$ , $x = 20^\circ$ . Углы: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$ и $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$ .

Ответ: 40° и 140°

Сложный

Ломаная между параллельными прямыми

Условие

Прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, точки $$B$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$ . Точка $$E$$ лежит между этими прямыми по ту же сторону от $$AC$$ , $\angle BAE = 35^\circ$ , $\angle DCE = 50^\circ$ . Найдите угол $$AEC$$ .

Дано

$AB \parallel CD$
$\angle BAE = 35^\circ$
$\angle DCE = 50^\circ$

Найти

$\angle AEC$

Решение

Проведём через $$E$$ прямую, параллельную $$AB$$ , и отметим на ней точку $$K$$ внутри угла $$AEC$$ — луч $$EK$$ направлен противоположно лучам $$AB$$ и $$CD$$ . Прямая $$EK$$ параллельна и $$CD$$ , ведь две прямые, параллельные третьей, параллельны.

$\angle AEK = \angle BAE = 35^\circ$ — накрест лежащие при $AB \parallel EK$ и секущей $$AE$$ .

$\angle KEC = \angle DCE = 50^\circ$ — накрест лежащие при $EK \parallel CD$ и секущей $$CE$$ .

$\angle AEC = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ$ .

Ответ: ∠AEC = 85°

Типичные ошибки

Применяют свойства к непараллельным прямым

Почему неверно

Равенство накрест лежащих углов и сумма односторонних $180^\circ$ выполняются только для параллельных прямых. Для пересекающихся прямых и секущей эти углы могут быть любыми.

Как правильно

Прежде чем писать «накрест лежащие углы равны», убедитесь, что прямые параллельны по условию или это уже доказано.

Путают признак и свойство

Почему неверно

Запись «прямые параллельны, так как накрест лежащие углы равны» — это признак, а «накрест лежащие углы равны, так как прямые параллельны» — свойство. Если перепутать, доказательство пойдёт по кругу.

Как правильно

Спросите себя: что известно? Известны углы — нужен признак. Известна параллельность — нужно свойство.

Считают односторонние углы равными

Почему неверно

Односторонние углы при параллельных прямых не равны, а в сумме дают $180^\circ$ (один острый, другой тупой). Равны они только тогда, когда оба прямые.

Как правильно

Запомните: накрест лежащие и соответственные — равны, односторонние — в сумме $180^\circ$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей. Один из образовавшихся углов равен $72^\circ$ . Найдите угол, соответственный ему, и угол, односторонний с ним.

Подсказка

Соответственные углы при параллельных прямых равны, односторонние в сумме дают $180^\circ$ .

Решение

Соответственный угол равен данному — $72^\circ$ . Односторонний угол дополняет данный до $180^\circ$ — $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .

Ответ

72° и 108°

База Задача 2

При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма двух соответственных углов равна $130^\circ$ . Найдите каждый из них.

Подсказка

Соответственные углы при параллельных прямых равны.

Решение

Соответственные углы равны, поэтому каждый из них равен половине суммы, $\dfrac{130^\circ}{2} = 65^\circ$ .

Ответ

65° и 65°

Средний Задача 3

Один из односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

Подсказка

Обозначьте меньший угол через $$x$$ .

Решение

Пусть меньший угол $$x$$ , тогда больший $$4x$$ . Сумма односторонних углов равна $180^\circ$ , $x + 4x = 180^\circ$ , $5x = 180^\circ$ , $x = 36^\circ$ . Больший угол $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$ .

Ответ

36° и 144°

Средний Задача 4

Углы 1 и 2 — соответственные при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей $$c$$ , причём $\angle 1 = 2x + 10^\circ$ , $\angle 2 = 3x - 25^\circ$ . Найдите $$x$$ и величину угла 1.

Подсказка

Соответственные углы при параллельных прямых равны — составьте уравнение.

Решение

Так как $a \parallel b$ , соответственные углы равны, $$2x + 10 = 3x - 25$$ , откуда $$x = 35$$ . Тогда $\angle 1 = 2 \cdot 35^\circ + 10^\circ = 80^\circ$ .

Ответ

x = 35°, ∠1 = 80°

Сложный Задача 5

Прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, точки $$B$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$ . Точка $$E$$ лежит между прямыми $$AB$$ и $$CD$$ по ту же сторону от $$AC$$ , что $$B$$ и $$D$$ , причём $\angle BAE = 28^\circ$ и $\angle AEC = 90^\circ$ . Найдите угол $$ECD$$ .

Подсказка

Проведите через $$E$$ прямую, параллельную $$AB$$ .

Решение

Проведём через $$E$$ прямую, параллельную $$AB$$ , и отметим на ней точку $$K$$ внутри угла $$AEC$$ (луч $$EK$$ направлен противоположно лучу $$AB$$ ). Тогда $EK \parallel CD$ (две прямые, параллельные третьей), и луч $$EK$$ делит угол $$AEC$$ на два угла. $\angle AEK = \angle BAE = 28^\circ$ — накрест лежащие при $AB \parallel EK$ и секущей $$AE$$ . Значит, $\angle KEC = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$ . Углы $$KEC$$ и $$ECD$$ накрест лежащие при $EK \parallel CD$ и секущей $$EC$$ , поэтому $\angle ECD = 62^\circ$ .

Ответ

∠ECD = 62°

Сложный Задача 6

Отрезки $$AD$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$O$$ , причём $AB \parallel CD$ и $$AB = CD$$ . Докажите, что $$O$$ — середина каждого из отрезков $$AD$$ и $$BC$$ .

Подсказка

Найдите равные накрест лежащие углы и примените второй признак равенства треугольников.

Решение

Углы $$BAO$$ и $$CDO$$ — накрест лежащие при параллельных $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AD$$ , поэтому они равны. Углы $$ABO$$ и $$DCO$$ — накрест лежащие при тех же прямых и секущей $$BC$$ , они тоже равны. В треугольниках $$AOB$$ и $$DOC$$ сторона $$AB = DC$$ и прилежащие к ней углы равны, значит, треугольники равны по второму признаку. Отсюда $$AO = OD$$ и $$BO = OC$$ .

Ответ

Утверждение доказано — AO = OD и BO = OC

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол две линейки параллельно и третью — наискосок поверх них. Предложите ребёнку сравнить транспортиром или вырезанным из бумаги уголком углы при верхней и нижней линейках: соответственные совпадут. Затем сдвиньте одну линейку, чтобы она стала непараллельной, — углы перестанут совпадать.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равен угол, односторонний с углом $70^\circ$ при параллельных прямых? 2) Чем свойство параллельных прямых отличается от признака? 3) Что такое обратная теорема и всегда ли она верна?

На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно называть пары углов на чертеже и понимать, что свойства работают только для параллельных прямых. Полезно просить его вслух объяснять каждый шаг: «равны как накрест лежащие при параллельных прямых».

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 29	206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216