Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе III, задание 222

Задача 1

Условие (кратко)

Прямые a и b параллельны прямой c. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает также и прямую b.

Решение

Дано: $a \parallel c$ , $b \parallel c$ , прямая $$p$$ пересекает $$a$$ в точке $$M$$ . Доказать: $$p$$ пересекает $$b$$ .

Если прямые $$a$$ и $$b$$ совпадают, доказывать нечего. Иначе $a \parallel b$ , так как две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Предположим, что $$p$$ не пересекает $$b$$ , то есть $p \parallel b$ .
Тогда через точку $$M$$ проходят две разные прямые $$a$$ и $$p$$ ( $$p$$ пересекает $$a$$ , значит, не совпадает с ней), и обе параллельны прямой $$b$$ . Это противоречит аксиоме параллельных прямых.
Значит, предположение неверно, и прямая $$p$$ пересекает $$b$$ .

Ответ

Утверждение доказано — иначе через точку пересечения с a прошли бы две прямые, параллельные b

Почему так

Доказательство от противного по аксиоме параллельных — через точку проходит только одна прямая, параллельная данной.

Подробнее — в теме «Аксиома параллельных прямых».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).