Задача 1
Условие (кратко)
Прямые a и b пересекаются. Можно ли провести прямую, которая пересекает прямую a и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.
Решение
Дано
- прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\)
Найти
- существует ли прямая \(p\)
- которая пересекает \(a\) и \(p \parallel b\)
-
Возьмём на прямой \(a\) точку \(M\), отличную от \(O\). Она не лежит на \(b\): у прямых \(a\) и \(b\) только одна общая точка \(O\).
-
Через точку \(M\), не лежащую на \(b\), можно провести прямую \(p \parallel b\).
-
Прямая \(p\) не совпадает с \(a\): \(a\) пересекает \(b\), а \(p\) — нет. Две разные прямые \(p\) и \(a\) имеют общую точку \(M\), значит, \(p\) пересекает \(a\).
Итак, такую прямую провести можно (и через каждую точку \(a\), кроме \(O\), — ровно одну).
Ответ
Да, можно
Почему так
Через любую точку прямой a вне прямой b проходит прямая, параллельная b, и она отлична от a, поэтому пересекает a.
Подробнее — в теме «Аксиома параллельных прямых».