Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе III, задание 224

Задача 1

Условие (кратко)

(Повышенной трудности.) Даны две прямые a и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны.

Решение

Дано: прямые $$a$$ и $$b$$ ; каждая прямая, пересекающая $$a$$ , пересекает и $$b$$ . Доказать: $a \parallel b$ .

Докажем методом от противного. Пусть $$a$$ и $$b$$ не параллельны, тогда они пересекаются в некоторой точке $$O$$ .

Возьмём на прямой $$a$$ точку $$M$$ , отличную от $$O$$ . Она не лежит на $$b$$ .
Проведём через $$M$$ прямую $p \parallel b$ . Она не совпадает с $$a$$ (ведь $$a$$ пересекает $$b$$ ), но проходит через точку $$M$$ прямой $$a$$ — значит, $$p$$ пересекает $$a$$ .
По условию тогда $$p$$ должна пересекать и $$b$$ , но $p \parallel b$ . Противоречие.

Значит, прямые $$a$$ и $$b$$ не пересекаются, то есть $a \parallel b$ .

Ответ

Утверждение доказано — если бы a и b пересекались, прямая через точку a, параллельная b, нарушила бы условие

Почему так

От противного — если a и b пересекаются, то параллельная b прямая через точку прямой a пересекает a, но не пересекает b.

Подробнее — в теме «Аксиома параллельных прямых».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).