Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе III, задание 226

Условие (кратко)

Дан треугольник ABC; середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки M, N и A лежат на одной прямой.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$O$$ — середина $$AC$$ и середина $$BM$$ ; $$P$$ — середина $$AB$$ и середина $$CN$$ . Доказать: точки $$M$$ , $$N$$ , $$A$$ лежат на одной прямой.

$\triangle AOM = \triangle COB$ по первому признаку: $$AO = OC$$ , $$OM = OB$$ , $\angle AOM = \angle COB$ как вертикальные. Отсюда $\angle OAM = \angle OCB$ — накрест лежащие углы при прямых $$AM$$ и $$BC$$ и секущей $$AC$$ ( $$M$$ и $$B$$ по разные стороны от $$AC$$ ). Значит, $AM \parallel BC$ .
Аналогично $\triangle APN = \triangle BPC$ : $$AP = PB$$ , $$PN = PC$$ , $\angle APN = \angle BPC$ как вертикальные. Отсюда $\angle PAN = \angle PBC$ — накрест лежащие при прямых $$AN$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$ . Значит, $AN \parallel BC$ .
Через точку $$A$$ , не лежащую на прямой $$BC$$ , проходят прямые $$AM$$ и $$AN$$ , обе параллельные $$BC$$ . По аксиоме параллельных прямых такая прямая только одна, значит, $$AM$$ и $$AN$$ совпадают.

Следовательно, точки $$M$$ , $$N$$ и $$A$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано — AM ∥ BC и AN ∥ BC, а через A проходит только одна прямая, параллельная BC

Почему так

Равенство треугольников даёт AM ∥ BC и AN ∥ BC, а по аксиоме параллельных эти прямые совпадают.

Подробнее — в теме «Аксиома параллельных прямых».

Задание 226

Задача 1