Задача 1
Даны прямая a и точка A, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку A проведите прямую, параллельную прямой a.
Решение
Дано: прямая \(a\), точка \(A \notin a\). Построить: прямую \(p\) через \(A\), \(p \parallel a\).
-
Отметим на прямой \(a\) точки \(B\) и \(C\) и проведём секущую \(AB\).
-
Отложим от луча \(AB\) в полуплоскость, не содержащую точку \(C\), угол, равный \(\angle ABC\) (построение угла, равного данному, циркулем и линейкой): получим \(\angle BAD = \angle ABC\).
-
Проведём прямую \(AD\) — это искомая прямая \(p\).
Обоснование: \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) — накрест лежащие углы при прямых \(AD\) и \(a\) и секущей \(AB\) (точки \(D\) и \(C\) лежат по разные стороны от \(AB\)). Они равны, значит, \(AD \parallel a\).
Другой способ: опустить из \(A\) перпендикуляр \(AH\) на прямую \(a\), затем через \(A\) построить прямую, перпендикулярную \(AH\). Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Ответ
Построение опирается на признак параллельности — если накрест лежащие углы при секущей равны, прямые параллельны.
Подробнее — в теме «Признаки параллельности двух прямых».