Задача 1
В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что угол BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle B = \angle C\), \(BO\) и \(CO\) — биссектрисы углов \(B\) и \(C\). Доказать: \(\angle BOC\) равен внешнему углу при вершине \(B\).
-
Биссектрисы делят углы пополам: \(\angle OBC = \dfrac{\angle B}{2}\), \(\angle OCB = \dfrac{\angle C}{2} = \dfrac{\angle B}{2}\), так как \(\angle C = \angle B\).
-
По теореме о сумме углов треугольника для \(\triangle BOC\): \(\angle BOC = 180^\circ - \dfrac{\angle B}{2} - \dfrac{\angle B}{2} = 180^\circ - \angle B\).
-
Внешний угол при вершине \(B\) смежен с углом \(B\), поэтому он тоже равен \(180^\circ - \angle B\).
Значит, \(\angle BOC\) равен внешнему углу треугольника при вершине \(B\).
Ответ
Сумма углов треугольника BOC равна 180°, а половинки равных углов B и C в сумме дают целый угол B.
Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».