Коротко о главном
Сумма углов любого треугольника равна 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним. По углам треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.
Подробное объяснение
Вырежьте из бумаги любой треугольник, оторвите у него три уголка и приложите их вершинами друг к другу. Уголки сложатся в ровную прямую линию — развёрнутый угол, \(180^\circ\). Так получится с любым треугольником: большим и маленьким, узким и широким. Геометрия доказывает, что это не совпадение.
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
Возьмём треугольник \(ABC\) и проведём через вершину \(B\) прямую \(a\), параллельную стороне \(AC\). У вершины \(B\) получились три угла: 4, 2 и 5. Вместе они составляют развёрнутый угол, то есть \(\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180^\circ\).
Угол 4 равен углу 1 (углу \(A\)): это накрест лежащие углы при параллельных прямых \(a\) и \(AC\) и секущей \(AB\). Точно так же угол 5 равен углу 3 (углу \(C\)) — секущая \(BC\). Заменяем углы 4 и 5 на равные им и получаем \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).
Четырёхугольник диагональю делится на два треугольника, поэтому сумма его углов равна \(2 \cdot 180^\circ = 360^\circ\).
Внешний угол
Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его углов. Чтобы его увидеть, продолжите сторону за вершину.
Внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Почему: внешний угол 4 и угол 3 треугольника в сумме дают \(180^\circ\) (они смежные). Углы 1, 2 и 3 тоже дают \(180^\circ\). Значит, \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 2\).
Отсюда следствие: внешний угол больше каждого угла треугольника, не смежного с ним.
Виды треугольников по углам
Если в треугольнике есть прямой или тупой угол, на два других остаётся не больше \(90^\circ\), и оба они острые. Поэтому хотя бы два угла треугольника всегда острые, а прямой или тупой угол может быть только один.
- Остроугольный треугольник — все три угла острые.
- Прямоугольный — один угол прямой. Сторона против прямого угла называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают \(90^\circ\).
- Тупоугольный — один угол тупой.
Вид треугольника определяют по самому большому углу: меньше \(90^\circ\) — остроугольный, ровно \(90^\circ\) — прямоугольный, больше — тупоугольный.
Как решать задачи
- Выпишите известные углы и отметьте их на чертеже.
- Неизвестный угол треугольника находите вычитанием: \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B\).
- Если углы даны отношением или «в 2 раза больше», обозначьте один угол через \(x\) и составьте уравнение «сумма равна \(180^\circ\)».
- Если дан внешний угол, сразу найдите смежный с ним угол треугольника (\(180^\circ\) минус внешний) или воспользуйтесь тем, что внешний равен сумме двух несмежных.
- В равнобедренном треугольнике помните, что углы при основании равны. Если дан угол, но не сказано, где он, рассмотрите оба случая: угол при основании и угол при вершине. Тупой или прямой угол может быть только при вершине.
- В конце сложите три найденных угла — должно получиться ровно \(180^\circ\).
Разобранные примеры
Третий угол треугольника
В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(72^\circ\), угол \(B\) равен \(43^\circ\). Найдите угол \(C\).
- \(\angle A = 72^\circ\)
- \(\angle B = 43^\circ\)
- \(\angle C\)
По теореме о сумме углов треугольника \(\angle C = 180^\circ - 72^\circ - 43^\circ = 65^\circ\).
Углы по внешнему углу
Внешний угол треугольника \(ABC\) при вершине \(B\) равен \(130^\circ\), угол \(A\) равен \(55^\circ\). Найдите остальные углы треугольника и определите его вид.
- внешний угол при \(B\) равен \(130^\circ\)
- \(\angle A = 55^\circ\)
- \(\angle B\)
- \(\angle C\)
- вид треугольника
- Угол \(B\) смежный с внешним: \(\angle B = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).
- Внешний угол при \(B\) равен сумме углов \(A\) и \(C\), поэтому \(\angle C = 130^\circ - 55^\circ = 75^\circ\).
- Проверка: \(55^\circ + 50^\circ + 75^\circ = 180^\circ\). Все углы острые — треугольник остроугольный.
Угол между биссектрисами
Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(O\). Угол \(C\) равен \(70^\circ\). Найдите угол \(AOB\).
- \(AO\) и \(BO\) — биссектрисы
- \(\angle C = 70^\circ\)
- \(\angle AOB\)
- \(\angle A + \angle B = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).
- Биссектрисы делят углы пополам, поэтому \(\angle OAB + \angle OBA = 110^\circ : 2 = 55^\circ\).
- Из треугольника \(AOB\): \(\angle AOB = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\).
Заметьте: сами углы \(A\) и \(B\) знать не нужно — хватает их суммы.
Типичные ошибки
Внешний угол при вершине \(C\) смежен с углом \(C\). Если сложить, например, \(\angle A + \angle C\), получится не внешний угол, а что-то другое — смежный угол в сумму не входит.
Внешний угол равен сумме двух углов, которые не при его вершине. Для внешнего угла при \(C\) это \(\angle A + \angle B\). Для проверки: внешний угол и угол треугольника при той же вершине вместе дают \(180^\circ\).
Если сказано только «один из углов равен \(40^\circ\)», он может быть и при основании, и при вершине. Ученик находит один ответ и теряет второй.
Рассмотрите оба случая: \(40^\circ\), \(40^\circ\), \(100^\circ\) и \(40^\circ\), \(70^\circ\), \(70^\circ\). А если данный угол тупой, например \(100^\circ\), случай один: два тупых угла при основании дали бы больше \(180^\circ\).
Даны углы \(30^\circ\) и \(50^\circ\) — оба острые, и треугольник называют остроугольным. Но третий угол \(180^\circ - 30^\circ - 50^\circ = 100^\circ\) — тупой.
Сначала найдите все три угла, затем смотрите на наибольший.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Два угла треугольника равны \(50^\circ\) и \(60^\circ\). Сколько градусов в третьем угле?
Показать ответ
Ответ: 70
\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\).
-
Может ли в треугольнике быть два прямых угла?
Показать ответ
Ответ: В) Нет, сумма двух углов уже 180°, на третий ничего не остаётся
Сумма углов треугольника \(180^\circ\), а два прямых угла уже дают \(180^\circ\). Поэтому прямой или тупой угол в треугольнике может быть только один.
-
В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(45^\circ\), угол \(B\) равен \(70^\circ\). Сколько градусов во внешнем угле при вершине \(C\)?
Показать ответ
Ответ: 115
Внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, — \(45^\circ + 70^\circ = 115^\circ\).
-
Углы треугольника \(ABC\) — \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\). Что верно?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Треугольник прямоугольный; Б) Сторона AB — гипотенуза; Г) Стороны AC и BC — катеты
Прямой угол \(C\), значит, треугольник прямоугольный. Гипотенуза лежит против прямого угла — это \(AB\), две другие стороны — катеты.
-
Два угла треугольника равны \(25^\circ\) и \(60^\circ\). Какой это треугольник?
Показать ответ
Ответ: В) Тупоугольный
Третий угол \(180^\circ - 25^\circ - 60^\circ = 95^\circ\) — тупой, значит, треугольник тупоугольный. Смотреть только на два данных угла нельзя.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Два угла треугольника равны \(47^\circ\) и \(68^\circ\). Найдите третий угол.
Подсказка
Сумма всех трёх углов равна \(180^\circ\).
Решение
\(180^\circ - 47^\circ - 68^\circ = 65^\circ\).
Ответ
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен \(34^\circ\). Найдите другой острый угол.
Подсказка
Прямой угол уже «забрал» \(90^\circ\) из \(180^\circ\).
Решение
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\), поэтому второй угол равен \(90^\circ - 34^\circ = 56^\circ\).
Ответ
Углы треугольника относятся как \(1 : 2 : 6\). Найдите углы и определите вид треугольника по углам.
Подсказка
Обозначьте меньший угол через \(x\).
Решение
Пусть углы равны \(x\), \(2x\) и \(6x\). Тогда \(x + 2x + 6x = 180^\circ\), \(9x = 180^\circ\), \(x = 20^\circ\). Углы — \(20^\circ\), \(40^\circ\) и \(120^\circ\). Один угол тупой, значит, треугольник тупоугольный.
Ответ
Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, равен \(140^\circ\). Найдите углы треугольника.
Подсказка
Внешний угол равен сумме двух углов при основании, а они равны.
Решение
Внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним, — двух углов при основании. Они равны, поэтому каждый равен \(140^\circ : 2 = 70^\circ\). Угол при вершине \(180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\) (смежный с внешним).
Ответ
На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AD = BD\). Известно, что \(\angle A = 35^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\). Найдите угол \(DBC\).
Подсказка
Треугольник \(ABD\) равнобедренный — какие у него углы равны?
Решение
В треугольнике \(ABD\) стороны \(AD = BD\), поэтому \(\angle ABD = \angle A = 35^\circ\). Угол \(B\) треугольника \(ABC\) равен \(180^\circ - 35^\circ - 45^\circ = 100^\circ\). Значит, \(\angle DBC = 100^\circ - 35^\circ = 65^\circ\).
Ответ
При каждой вершине треугольника взяли по одному внешнему углу. Докажите, что сумма этих трёх внешних углов равна \(360^\circ\).
Подсказка
Каждый внешний угол равен \(180^\circ\) минус угол треугольника при той же вершине.
Решение
Внешние углы равны \(180^\circ - \angle A\), \(180^\circ - \angle B\), \(180^\circ - \angle C\). Их сумма \(540^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе любой треугольник, пусть ребёнок закрасит три угла разными цветами, вырежет треугольник и оторвёт уголки. Сложенные вершинами вместе, они дадут прямую линию — \(180^\circ\). Повторите с другим, «кривым» треугольником: результат тот же. Потом покажите внешний угол: продолжите одну сторону карандашом и приложите к получившемуся углу два «чужих» уголка — они его ровно заполнят.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему в треугольнике не может быть двух тупых углов? 2) Два угла треугольника по 45° — какой это треугольник и как называется его самая длинная сторона? 3) Чему равен внешний угол, если два несмежных с ним угла \(30^\circ\) и \(40^\circ\)?
На что обратить внимание. Ребёнок должен уметь не только вычитать из \(180^\circ\), но и объяснить, откуда эта сумма: через параллельную прямую и накрест лежащие углы — это повторение главы о параллельных прямых. Следите, чтобы в задачах про равнобедренный треугольник он проверял оба случая и в конце складывал углы для проверки.