Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 305

Задача 1

Условие (кратко)

На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Решение

Дано: $\triangle ADC$ , $B \in AD$ , $$BC = BD$$ , $$BK$$ — биссектриса угла $$ABC$$ . Доказать: $BK \parallel DC$ .

Треугольник $$BCD$$ равнобедренный ( $$BC = BD$$ ), поэтому углы при основании $$CD$$ равны: $\angle BDC = \angle BCD$ .
Угол $$ABC$$ — внешний угол треугольника $$BCD$$ при вершине $$B$$ , он равен сумме двух углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle BDC + \angle BCD = 2\angle BDC$ .
Биссектриса делит угол $$ABC$$ пополам: $\angle ABK = \dfrac{\angle ABC}{2} = \angle BDC$ .
Углы $$ABK$$ и $$ADC$$ — соответственные при прямых $$BK$$ , $$DC$$ и секущей $$AD$$ (лучи $$BA$$ и $$DA$$ сонаправлены, лучи $$BK$$ и $$DC$$ лежат по одну сторону от $$AD$$ ). Соответственные углы равны, значит, $BK \parallel DC$ .

Ответ

Утверждение доказано, биссектриса угла ABC образует с AD угол, равный ∠BDC, поэтому она параллельна DC

Почему так

Внешний угол равнобедренного треугольника BCD вдвое больше угла при основании, а равенство соответственных углов даёт параллельность.

Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).