Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 306

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке точка C лежит на отрезке AB, точки D и E — по одну сторону от AB, AD ∥ BE, AC = AD и BC = BE. Докажите, что угол DCE прямой.

Решение

Дано: $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$ , $$D$$ и $$E$$ по одну сторону от $$AB$$ , $AD \parallel BE$ , $$AC = AD$$ , $$BC = BE$$ . Доказать: $\angle DCE = 90^\circ$ .

Углы $$DAC$$ и $$EBC$$ — односторонние при параллельных прямых $$AD$$ , $$BE$$ и секущей $$AB$$ , поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .
Треугольник $$ACD$$ равнобедренный ( $$AC = AD$$ ), углы при основании $$CD$$ равны: $\angle ACD = \dfrac{180^\circ - \angle A}{2}$ .
Аналогично в равнобедренном $\triangle BCE$ : $\angle BCE = \dfrac{180^\circ - \angle B}{2}$ .
$\angle ACD + \angle BCE = \dfrac{360^\circ - (\angle A + \angle B)}{2} = \dfrac{360^\circ - 180^\circ}{2} = 90^\circ$ .
Углы $$ACD$$ , $$DCE$$ и $$ECB$$ вместе составляют развёрнутый угол $$ACB$$ , поэтому $\angle DCE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано, ∠DCE = 90°

Почему так

Односторонние углы при параллельных прямых дают в сумме 180°, а углы при основаниях двух равнобедренных треугольников — вместе 90°.

Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).