Задача 1
В треугольнике ABC AB = AC; точки P и R лежат на AC, Q — на AB, причём AP = PQ = QR = RB = BC (рис. 152). Найдите угол A.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = AC\)
- \(P, R \in AC\)
- \(Q \in AB\)
- \(AP = PQ = QR = RB = BC\)
- \(\angle A\)
Обозначим \(\angle A = x\) и пройдём по цепочке равнобедренных треугольников, пользуясь теоремой о внешнем угле.
-
\(\triangle APQ\): \(AP = PQ\), поэтому \(\angle AQP = \angle A = x\). Внешний угол \(QPR = x + x = 2x\).
-
\(\triangle PQR\): \(PQ = QR\), поэтому \(\angle QRP = \angle QPR = 2x\). В \(\triangle AQR\) внешний угол при \(Q\): \(\angle RQB = \angle A + \angle ARQ = x + 2x = 3x\).
-
\(\triangle QRB\): \(QR = RB\), поэтому \(\angle RBQ = \angle RQB = 3x\). В \(\triangle ARB\) внешний угол при \(R\): \(\angle BRC = x + 3x = 4x\).
-
\(\triangle RBC\): \(RB = BC\), поэтому \(\angle C = \angle BRC = 4x\).
-
\(AB = AC\), значит, \(\angle ABC = \angle C = 4x\). Сумма углов \(\triangle ABC\): \(x + 4x + 4x = 180^\circ\), \(9x = 180^\circ\), \(x = 20^\circ\).
Ответ
В каждом равнобедренном треугольнике цепочки внешний угол равен сумме двух других, и угол растёт на x на каждом шаге.
Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».