Задача 1
Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты из вершины тупого угла лежит на стороне, а основания высот из вершин острых углов — на продолжениях сторон.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A\) тупой, \(AH\), \(BK\), \(CL\) — высоты. Доказать: \(H\) лежит на стороне \(BC\), \(K\) и \(L\) — на продолжениях сторон \(AC\) и \(AB\).
В треугольнике не может быть двух углов, каждый из которых не меньше \(90^\circ\): вместе с третьим углом их сумма превысила бы \(180^\circ\). Поэтому \(\angle B\) и \(\angle C\) острые.
-
Высота \(AH\). Если \(H = C\), то \(\angle C = 90^\circ\) — невозможно. Если \(H\) лежит на продолжении \(BC\) за точку \(C\), то \(\angle ACB\) — внешний угол прямоугольного \(\triangle AHC\), он больше прямого угла \(H\), то есть \(\angle C\) тупой — невозможно. Так же \(H\) не может лежать за точкой \(B\). Значит, \(H\) лежит между \(B\) и \(C\).
-
Высота \(BK\) к прямой \(AC\). \(K \ne A\), иначе \(\angle A = 90^\circ\); \(K \ne C\), иначе \(\angle C = 90^\circ\). Если бы \(K\) лежала между \(A\) и \(C\), то в \(\triangle ABK\) были бы тупой угол \(BAK = \angle A\) и прямой угол \(K\) — невозможно. Если \(K\) за точкой \(C\), то в \(\triangle ABK\) снова тупой угол \(A\) и прямой угол \(K\) — невозможно. Остаётся: \(K\) лежит на продолжении \(AC\) за точку \(A\).
-
Для высоты \(CL\) рассуждение то же: \(L\) лежит на продолжении \(AB\) за точку \(A\).
Ответ
В треугольнике может быть только один тупой или прямой угол, а внешний угол больше каждого внутреннего, не смежного с ним.
Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».