Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 311

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон AB и AC (повышенной трудности).

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AM$$ — медиана ( $$BM = MC$$ ). Доказать: $AM < \dfrac{AB + AC}{2}$ .

Продлим медиану за точку $$M$$ на отрезок $$MD = AM$$ .
$\triangle AMB = \triangle DMC$ по первому признаку: $$BM = MC$$ , $$AM = MD$$ , $\angle AMB = \angle DMC$ как вертикальные. Отсюда $$CD = AB$$ .
Точки $$A$$ , $$C$$ , $$D$$ не лежат на одной прямой (иначе $$D$$ лежала бы на прямой $$AC$$ , а с ней и точка $$M$$ , и тогда $$B$$ — тоже). По неравенству треугольника для $\triangle ACD$ : $$AD < AC + CD = AC + AB$$ .
$$AD = 2AM$$ , поэтому $$2AM < AB + AC$$ , то есть $AM < \dfrac{AB + AC}{2}$ .

Ответ

Утверждение доказано, удвоенная медиана меньше AB + AC

Почему так

Удвоение медианы даёт треугольник со сторонами AC, AB и 2AM, к которому применяется неравенство треугольника.

Подробнее — в теме «Неравенство треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).