Точки A, B, C — вершины треугольника. Какие неравенства обязательно верны?

AB > AC − CB, если AC > CB

Для трёх точек AB = 5 см, BC = 3 см, AC = 8 см. Как расположены точки?

Точка B лежит на отрезке AC

Они вершины треугольника

Точка A лежит на отрезке BC

Так расположить точки нельзя

Неравенство треугольника — 7 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Коротко о главном

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Поэтому треугольник со сторонами $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ существует, только если наибольшая сторона меньше суммы двух остальных.

\[AB < AC + CB\]

Подробное объяснение

Чтобы пройти из дома в школу, можно идти напрямик через двор, а можно свернуть к киоску. Путь через киоск почти всегда длиннее. Это и есть неравенство треугольника: прямая дорога между двумя точками короче, чем дорога с заходом в третью точку.

Слева треугольник ABC — путь из A в B через вершину C длиннее прямого отрезка AB. Справа точка C лежит на отрезке AB, тогда AC + CB = AB и треугольника нет. — Прямой путь короче пути через третью точку; равенство бывает, только если точки лежат на одной прямой.

Теорема

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Для треугольника $$ABC$$ это три неравенства:

AB < AC + CB, \quad AC < AB + BC, \quad BC < BA + AC.

Каждое из них называется неравенством треугольника.

Почему так. Продлим сторону $$AC$$ за точку $$C$$ и отложим $$CD = CB$$ . Получим отрезок $$AD = AC + CB$$ . Треугольник $$BCD$$ равнобедренный, углы при его основании $$BD$$ равны. Угол $$ABD$$ больше угла $$CBD$$ , потому что содержит его, а значит, больше и равного ему угла $$D$$ . В треугольнике $$ABD$$ против большего угла лежит большая сторона: $$AD > AB$$ , то есть $$AB < AC + CB$$ .

Когда треугольника нет

Если точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$ , то $$AC + CB = AB$$ — неравенство превращается в равенство, а треугольник «сплющивается» в отрезок. Если же наибольший отрезок длиннее суммы двух других, концы коротких отрезков просто не дотянутся друг до друга.

Поэтому для любых трёх точек верно $AB \le AC + CB$ , а знак равенства бывает, только когда $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$ .

Как проверить, существует ли треугольник

Все три неравенства проверять не нужно. Достаточно сравнить наибольшую сторону с суммой двух других: если она меньше, треугольник существует. Две другие проверки выполнятся сами собой.

Из неравенства треугольника следует и оценка снизу: любая сторона больше разности двух других. Так что третья сторона $$x$$ при сторонах $$a$$ и $$b$$ (где $a \ge b$ ) лежит в пределах $$a - b < x < a + b$$ .

Как решать задачи

Найдите наибольшую из данных сторон.
Сравните её с суммой двух других: меньше — треугольник есть, больше или равно — нет.
Если одна сторона неизвестна, запишите двойное неравенство: больше разности, меньше суммы.
В равнобедренном треугольнике рассмотрите оба случая (данная сторона — основание или боковая) и отбросьте тот, где нарушено неравенство.
В доказательствах выписывайте неравенство для подходящего треугольника, а затем складывайте неравенства.

Разобранные примеры

База

Проверка тройки отрезков

Условие

Можно ли сложить треугольник из палочек длиной 5 см, 7 см и 13 см?

Дано

отрезки 5 см
7 см
13 см

Найти

существует ли треугольник

Решение

Наибольший отрезок 13 см. Сумма двух других $$5 + 7 = 12$$ см, и $$13 > 12$$ . Неравенство треугольника нарушено.

Ответ: Нельзя

Средний

Равнобедренный с двумя данными сторонами

Условие

Две стороны равнобедренного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите периметр.

Дано

равнобедренный треугольник
стороны 5 см и 12 см

Найти

$$P$$

Решение

Если боковые стороны по 5 см, то $$5 + 5 = 10 < 12$$ — треугольника нет. Значит, боковые стороны по 12 см, основание 5 см, проверка $$12 + 5 > 12$$ выполняется. $$P = 12 + 12 + 5 = 29$$ см.

Ответ: 29 см

Сложный

Диагональ четырёхугольника

Условие

Докажите, что диагональ $$AC$$ четырёхугольника $$ABCD$$ меньше половины его периметра.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — четырёхугольник, $$AC$$ — диагональ. Доказать: $AC < \dfrac{AB + BC + CD + DA}{2}$ .

Из треугольника $$ABC$$ по неравенству треугольника $$AC < AB + BC$$ , из треугольника $$ADC$$ — $$AC < AD + DC$$ . Сложим: $$2AC < AB + BC + CD + DA$$ . Разделим на 2 и получим нужное.

Ответ: Утверждение доказано

Типичные ошибки

Проверяют не ту сторону

Почему неверно

Для отрезков 3, 4 и 10 неравенство $$3 < 4 + 10$$ верно, но треугольника нет. Проверка с меньшей стороной ничего не говорит.

Как правильно

Всегда сравнивайте с суммой двух других наибольшую сторону: $$10 > 3 + 4$$ — треугольника нет.

Считают, что при равенстве треугольник есть

Почему неверно

Для отрезков 2, 5 и 7 сумма $$2 + 5$$ равна 7. Такие отрезки ложатся на одну прямую, треугольник вырождается в отрезок.

Как правильно

Неравенство строгое: наибольшая сторона должна быть строго меньше суммы двух других.

В равнобедренном берут первый попавшийся вариант

Почему неверно

Если даны стороны 3 см и 8 см, ученик часто пишет: боковые по 3, основание 8. Но $$3 + 3 < 8$$ — такого треугольника нет.

Как правильно

Рассмотрите оба случая и проверьте каждый неравенством треугольника. Обычно подходит ровно один.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Существует ли треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 10 см?

Подсказка

Сравните наибольшую сторону с суммой двух других.

Решение

Наибольшая сторона 10 см, сумма двух других $$4 + 5 = 9$$ см. Так как $$10 > 9$$ , неравенство треугольника нарушено — такого треугольника нет.

Ответ

Нет

База Задача 2

Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см. Может ли третья сторона быть равна 2 см? А 14 см?

Подсказка

Проверьте неравенство для наибольшей из трёх сторон.

Решение

Для 2 см наибольшая сторона 9 см, а $$6 + 2 = 8 < 9$$ — нельзя. Для 14 см наибольшая сторона 14 см, а $$6 + 9 = 15 > 14$$ — можно.

Ответ

2 см — нет, 14 см — да

Средний Задача 3

Две стороны равнобедренного треугольника равны 4 см и 9 см. Найдите его периметр.

Подсказка

Рассмотрите оба случая — боковая сторона 4 см или 9 см.

Решение

Если боковые стороны по 4 см, то $$4 + 4 = 8 < 9$$ — треугольника нет. Значит, боковые стороны по 9 см, основание 4 см, и $$9 + 4 > 9$$ — треугольник существует. $$P = 9 + 9 + 4 = 22$$ см.

Ответ

22 см

Средний Задача 4

Две стороны треугольника равны 4 см и 11 см, а третья выражается целым числом сантиметров. Сколько существует вариантов для третьей стороны?

Подсказка

Третья сторона больше разности и меньше суммы двух данных.

Решение

Третья сторона $$x$$ должна удовлетворять условиям $$x < 4 + 11 = 15$$ и $$11 < 4 + x$$ , то есть $$x > 7$$ . Целые значения от 8 до 14 — их $$14 - 8 + 1 = 7$$ .

Ответ

7 вариантов (от 8 до 14 см)

Сложный Задача 5

Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см, одна из его сторон — 6 см. Найдите две другие стороны.

Подсказка

Сторона 6 см может быть основанием или боковой стороной — проверьте оба случая.

Решение

Если основание 6 см, боковые стороны по $\dfrac{30 - 6}{2} = 12$ см; $$12 + 6 > 12$$ — треугольник существует. Если боковая сторона 6 см, основание $$30 - 12 = 18$$ см, но $$6 + 6 = 12 < 18$$ — так не бывает.

Ответ

12 см и 12 см

Сложный Задача 6

Докажите, что любая сторона треугольника меньше половины его периметра.

Подсказка

Прибавьте к обеим частям неравенства треугольника одну и ту же сторону.

Решение

Пусть стороны треугольника $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ и $$P = a + b + c$$ . По неравенству треугольника $$a < b + c$$ . Прибавим $$a$$ к обеим частям — $$2a < a + b + c = P$$ , откуда $a < \dfrac{P}{2}$ . Для сторон $$b$$ и $$c$$ рассуждение то же.

Ответ

Утверждение доказано — каждая сторона меньше половины периметра

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарежьте три полоски бумаги или возьмите три карандаша разной длины. Попробуйте сложить треугольник из длинной и двух коротких: если короткие вместе короче длинной, концы не сойдутся. Затем подберите полоски так, чтобы короткие вместе были ровно как длинная, — они лягут вдоль неё плоско. Вывод ребёнок сформулирует сам: длинная сторона должна быть короче двух других вместе.

Вопросы для проверки понимания: 1) Существует ли треугольник со сторонами 2, 3 и 6? 2) Какую сторону достаточно сравнить с суммой двух других? 3) Почему в равнобедренном треугольнике со сторонами 3 и 8 основание 3, а не 8?

На что обратить внимание. Неравенство строгое — «меньше», а не «меньше или равно». В задачах про равнобедренный треугольник ребёнок должен проверять оба варианта, а не угадывать.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 34	253, 254, 255, 256, 257, 258