Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если точка M лежит внутри треугольника ABC, то MB + MC < AB + AC (повышенной трудности).
Решение
Дано: \(M\) лежит внутри \(\triangle ABC\). Доказать: \(MB + MC < AB + AC\).
-
Продлим отрезок \(BM\) за точку \(M\) до пересечения со стороной \(AC\) в точке \(N\). Тогда \(M\) лежит между \(B\) и \(N\), а \(N\) — между \(A\) и \(C\).
-
Неравенство треугольника для \(\triangle ABN\): \(BN < AB + AN\), то есть \(BM + MN < AB + AN\).
-
Неравенство треугольника для \(\triangle MNC\): \(MC < MN + NC\).
-
Сложим: \(BM + MN + MC < AB + AN + MN + NC\). Сократим \(MN\) и учтём \(AN + NC = AC\): \(MB + MC < AB + AC\).
Ответ
Утверждение доказано, сложением неравенств для треугольников ABN и MNC
Почему так
Ломаная BMC лежит внутри ломаной BAC, и два неравенства треугольника дают сравнение их длин.
Подробнее — в теме «Неравенство треугольника».