Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин меньше периметра треугольника.
Решение
Дано: \(M\) лежит внутри \(\triangle ABC\). Доказать: \(MA + MB + MC < AB + BC + CA\).
По задаче 312, применённой к каждой из трёх вершин:
\(MB + MC < AB + AC\),
\(MA + MC < BA + BC\),
\(MA + MB < CA + CB\).
Сложим неравенства: \(2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA)\). Разделим на 2: \(MA + MB + MC < P_{ABC}\).
Ответ
Утверждение доказано, MA + MB + MC меньше периметра
Почему так
Три неравенства задачи 312, сложенные вместе, дают удвоенную сумму расстояний меньше удвоенного периметра.
Подробнее — в теме «Неравенство треугольника».